Решение задачи по теории вероятностей: Вариант 4

Вариант 4 Задача 1. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя цифрами, делящимися на 5? Решение: На конце телефонного номера могут стоять любые две цифры от 00 до 99. Всего таких комбинаций \( n = 100 \). Цифры, которые делятся на 5 — это 0 и 5. Выпишем все возможные комбинации из двух цифр, где каждая цифра делится на 5: 00, 05, 50, 55. Количество благоприятных исходов \( m = 4 \). Вероятность события \( P \) равна: \[ P = \frac{m}{n} = \frac{4}{100} = 0,04 \] Ответ: 0,04. Задача 2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно. Решение: Так как продавцы работают независимо друг от друга, вероятность того, что все трое заняты, равна произведению вероятностей занятости каждого продавца. Пусть \( P(A) = 0,3 \), \( P(B) = 0,3 \), \( P(C) = 0,3 \). Тогда искомая вероятность: \[ P = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027 \] Ответ: 0,027. Задача 3. Если шахматист А. играет белыми, он выигрывает у Б. с вероятностью 0,06. Если А. играет черными, он выигрывает с вероятностью 0,93. Шахматисты играют две партии, меняя цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение: Для того чтобы А. выиграл оба раза, он должен выиграть и первую партию, и вторую. Эти события независимы. Вероятность выигрыша белыми \( P_1 = 0,06 \). Вероятность выигрыша черными \( P_2 = 0,93 \). Вероятность того, что оба события произойдут: \[ P = P_1 \cdot P_2 = 0,06 \cdot 0,93 = 0,0558 \] Ответ: 0,0558. Задача 4. Команда «Мотор» играет 3 игры. Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую и третью игры. Решение: В каждой игре вероятность того, что команда начнет с мячом, равна \( p = 0,5 \), а вероятность того, что не начнет — \( q = 1 - 0,5 = 0,5 \). Нам нужно, чтобы в 1-й игре команда НЕ начинала, во 2-й начинала и в 3-й начинала. \[ P = q \cdot p \cdot p = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \] Ответ: 0,125. Задача 5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания 0,8. Найдите вероятность того, что он первые три раза попал, а последние два промахнулся. Решение: Вероятность попадания \( p = 0,8 \). Вероятность промаха \( q = 1 - 0,8 = 0,2 \). Нам нужна последовательность: Попадание, Попадание, Попадание, Промах, Промах. \[ P = p \cdot p \cdot p \cdot q \cdot q = 0,8^3 \cdot 0,2^2 \] \[ P = 0,512 \cdot 0,04 = 0,02048 \] Округляем до сотых: \( 0,02 \). Ответ: 0,02. Задача 6. Стрелок стреляет по 4 мишеням. Вероятность промаха 0,4. Найдите вероятность, что он попадет в первые 3 мишени, а в последнюю промахнется. Решение: Вероятность промаха \( q = 0,4 \). Вероятность попадания \( p = 1 - 0,4 = 0,6 \). Нам нужна последовательность: Попадание, Попадание, Попадание, Промах. \[ P = p \cdot p \cdot p \cdot q = 0,6^3 \cdot 0,4 \] \[ P = 0,216 \cdot 0,4 = 0,0864 \] Ответ: 0,0864.