Решение задач на прямоугольный треугольник

Задача №1. На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник. Катеты — это стороны, образующие прямой угол. Посчитаем их длину по клеткам: Вертикальный катет равен 6 клеткам. Горизонтальный катет равен 8 клеткам. Сравнивая длины, получаем, что больший катет равен 8. Ответ: 8. Задача №2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^{\circ} \). Пусть один острый угол \( \alpha = 23^{\circ} \), тогда второй острый угол \( \beta \) находится по формуле: \[ \beta = 90^{\circ} - \alpha \] \[ \beta = 90^{\circ} - 23^{\circ} = 67^{\circ} \] Ответ: 67. Задача №3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \), отрезок \( CM \) является медианой, проведённой к гипотенузе \( AB \) (так как \( M \) — середина \( AB \)). По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: \[ CM = \frac{AB}{2} \] Подставим значение \( AB = 20 \): \[ CM = \frac{20}{2} = 10 \] Ответ: 10. Задача №4. Радиус \( r \) вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата \( a \). Следовательно, сторона квадрата: \[ a = 2r = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \] Диагональ квадрата \( d \) вычисляется по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] Подставим значение стороны: \[ d = 18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 18 \cdot 2 = 36 \] Ответ: 36.