Решение задачи №329: Напряженность поля заряженного стержня

Задача №329 Дано: \(l = 0,5 \, \text{м}\) \(\tau = 1,0 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл/м}\) \(a = 0,1 \, \text{м}\) \(k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\) (электрическая постоянная \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)) Найти: \(E\) — ? Как изменится \(E\), если: 1) \(a \ll l\); 2) \(a \gg l\)? Решение: Расположим стержень вдоль оси \(Oy\) от \(-\frac{l}{2}\) до \(\frac{l}{2}\). Искомую точку расположим на оси \(Ox\) на расстоянии \(a\) от начала координат. Выделим на стержне малый элемент длины \(dy\) с зарядом \(dq = \tau dy\). Напряженность поля, создаваемая этим элементом в заданной точке: \[dE = k \frac{dq}{r^2} = k \frac{\tau dy}{a^2 + y^2}\] Из соображений симметрии, результирующий вектор напряженности \(E\) будет направлен вдоль оси \(Ox\). Горизонтальная составляющая \(dE_x\): \[dE_x = dE \cos\alpha\] где \(\cos\alpha = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + y^2}}\). Тогда: \[dE_x = k \frac{\tau a dy}{(a^2 + y^2)^{3/2}}\] Для нахождения полной напряженности проинтегрируем это выражение по всей длине стержня: \[E = \int_{-l/2}^{l/2} \frac{k \tau a dy}{(a^2 + y^2)^{3/2}} = k \tau a \left[ \frac{y}{a^2 \sqrt{a^2 + y^2}} \right]_{-l/2}^{l/2}\] \[E = \frac{k \tau}{a} \left( \frac{l/2}{\sqrt{a^2 + (l/2)^2}} - \frac{-l/2}{\sqrt{a^2 + (-l/2)^2}} \right) = \frac{k \tau l}{a \sqrt{a^2 + (l/2)^2}}\] Подставим числовые значения: \[E = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-6} \cdot 0,5}{0,1 \sqrt{0,1^2 + 0,25^2}} = \frac{4500}{0,1 \sqrt{0,01 + 0,0625}} = \frac{4500}{0,1 \cdot 0,269} \approx 1,67 \cdot 10^5 \, \text{В/м}\] Рассмотрим предельные случаи: 1) Если \(a \ll l\), то стержень можно считать бесконечно длинным. В формуле пренебрегаем \(a^2\) под корнем: \[E \approx \frac{k \tau l}{a \cdot (l/2)} = \frac{2 k \tau}{a} = \frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0 a}\] Напряженность будет убывать обратно пропорционально расстоянию \(a\). 2) Если \(a \gg l\), то стержень можно считать точечным зарядом \(Q = \tau l\). В знаменателе пренебрегаем \((l/2)^2\): \[E \approx \frac{k \tau l}{a \cdot a} = \frac{k Q}{a^2}\] Напряженность будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния \(a^2\). Ответ: \(E \approx 1,67 \cdot 10^5 \, \text{В/м}\). При \(a \ll l\) поле ведет себя как поле бесконечной нити (\(E \sim 1/a\)), при \(a \gg l\) — как поле точечного заряда (\(E \sim 1/a^2\)).