Задача 2. Какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы нагреть 2 м3 воздуха при постоянном избыточном давлении \(p = 2\) ат от \(t_1 = 120\) °С до \(t_2 = 450\) °С? Какую работу при этом совершит воздух? Атмосферное давление принять равным 750 мм рт. ст.
Дано:
- Начальный объем воздуха: \(V_1 = 2\) м3
- Избыточное давление: \(p_{изб} = 2\) ат
- Начальная температура: \(t_1 = 120\) °С
- Конечная температура: \(t_2 = 450\) °С
- Атмосферное давление: \(p_{атм} = 750\) мм рт. ст.
Найти:
- Количество теплоты: \(Q\)
- Работу: \(A\)
Решение:
1. Переведем все величины в систему СИ.
Начальная температура:
\[T_1 = t_1 + 273,15 = 120 + 273,15 = 393,15 \text{ К}\]Конечная температура:
\[T_2 = t_2 + 273,15 = 450 + 273,15 = 723,15 \text{ К}\]Атмосферное давление \(p_{атм} = 750\) мм рт. ст. переведем в Паскали. Известно, что 760 мм рт. ст. \( \approx 101325\) Па.
\[p_{атм} = \frac{750}{760} \cdot 101325 \text{ Па} \approx 0,9868 \cdot 101325 \text{ Па} \approx 99991 \text{ Па}\]Избыточное давление \(p_{изб} = 2\) ат переведем в Паскали. Известно, что 1 ат \( \approx 101325\) Па.
\[p_{изб} = 2 \cdot 101325 \text{ Па} = 202650 \text{ Па}\]Абсолютное давление, при котором происходит процесс, равно сумме атмосферного и избыточного давления:
\[p = p_{атм} + p_{изб} = 99991 \text{ Па} + 202650 \text{ Па} = 302641 \text{ Па}\]Процесс происходит при постоянном давлении (изобарный процесс).
2. Определим количество вещества (число молей) воздуха. Воздух можно считать идеальным газом. Используем уравнение состояния идеального газа для начального состояния:
\[p V_1 = n R T_1\]где \(R = 8,314\) Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная.
\[n = \frac{p V_1}{R T_1}\] \[n = \frac{302641 \text{ Па} \cdot 2 \text{ м}^3}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 393,15 \text{ К}}\] \[n = \frac{605282}{3269,9} \approx 185,12 \text{ моль}\]3. Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, определяется по формуле:
\[A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)\]Для изобарного процесса также справедливо соотношение:
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]Отсюда найдем конечный объем \(V_2\):
\[V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}\] \[V_2 = 2 \text{ м}^3 \cdot \frac{723,15 \text{ К}}{393,15 \text{ К}}\] \[V_2 = 2 \text{ м}^3 \cdot 1,8393 \approx 3,6786 \text{ м}^3\]Теперь рассчитаем работу:
\[A = p (V_2 - V_1) = 302641 \text{ Па} \cdot (3,6786 \text{ м}^3 - 2 \text{ м}^3)\] \[A = 302641 \text{ Па} \cdot 1,6786 \text{ м}^3\] \[A \approx 507990 \text{ Дж} \approx 508 \text{ кДж}\]4. Количество теплоты, необходимое для нагрева газа при постоянном давлении, определяется по формуле:
\[Q = n C_p \Delta T = n C_p (T_2 - T_1)\]Для воздуха (двухатомный газ) молярная изобарная теплоемкость \(C_p = \frac{7}{2} R\).
\[C_p = \frac{7}{2} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} = 3,5 \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} = 29,1 \text{ Дж/(моль·К)}\]Теперь рассчитаем количество теплоты:
\[Q = 185,12 \text{ моль} \cdot 29,1 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot (723,15 \text{ К} - 393,15 \text{ К})\] \[Q = 185,12 \text{ моль} \cdot 29,1 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 330 \text{ К}\] \[Q = 5384,032 \text{ Дж/К} \cdot 330 \text{ К}\] \[Q \approx 1776730 \text{ Дж} \approx 1776,7 \text{ кДж}\]Проверка по первому началу термодинамики:
\[Q = \Delta U + A\]Изменение внутренней энергии для идеального газа:
\[\Delta U = n C_V \Delta T\]Для двухатомного газа \(C_V = \frac{5}{2} R = 2,5 \cdot 8,314 = 20,785\) Дж/(моль·К).
\[\Delta U = 185,12 \text{ моль} \cdot 20,785 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 330 \text{ К}\] \[\Delta U = 3847,5 \text{ Дж/К} \cdot 330 \text{ К}\] \[\Delta U \approx 1269675 \text{ Дж} \approx 1269,7 \text{ кДж}\]Тогда \(Q = 1269,7 \text{ кДж} + 508 \text{ кДж} = 1777,7 \text{ кДж}\). Результаты совпадают с небольшой погрешностью из-за округлений.
Ответ:
Необходимо затратить количество теплоты \(Q \approx 1776,7\) кДж.
При этом воздух совершит работу \(A \approx 508\) кДж.