Закон больших чисел

Вот решение задачи и ответы на вопросы, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Заголовок: Закон больших чисел Закон больших чисел — это один из самых известных законов теории вероятностей. Его суть заключается в том, что при большом количестве испытаний частота случайного события будет мало отличаться от его вероятности. Базовый пример: Если подбросить монету всего несколько раз, вполне возможно, что выпадет больше орлов, чем решек, или наоборот. Однако, если подбрасывать монету тысячи или даже миллионы раз, то соотношение выпадений орла и решки постепенно будет приближаться к 50% на 50%. Этот закон используется в разных сферах жизни. Например, страховые компании рассчитывают свои тарифы, основываясь на большом количестве данных. Хотя невозможно предсказать, когда конкретный человек попадёт в аварию, на больших данных становится ясно, сколько страховых случаев произойдёт в среднем за год. В результате страховые компании могут точно рассчитывать выплаты, опираясь на закон больших чисел. Изучите текст о законе больших чисел и решите задачу. Предположим, что вы решили проверить, как работает закон больших чисел. Вы подбросили монету 100 раз и заметили, что орёл выпал 80 раз, а решка — 20 раз. Вы продолжили эксперимент и подбросили монету уже 10000 раз. Какое из следующих утверждений наиболее точно описывает ожидаемый результат после 1000 подбрасываний, согласно закону больших чисел? Варианты ответов: 1. Результат подбрасываний останется таким же случайным и непредсказуемым, как и при 100 подбрасываниях. 2. Соотношение выпадений орла и решки приблизится к 50% на 50%. 3. Вероятность выпадения орла останется на уровне 80%. 4. Количество выпавших орлов будет значительно больше, чем решек. Решение: Для решения этой задачи нам нужно вспомнить основную идею закона больших чисел. Закон больших чисел гласит, что при увеличении количества испытаний (в нашем случае, подбрасываний монеты) частота наступления случайного события (выпадение орла или решки) будет приближаться к его теоретической вероятности. В случае с подбрасыванием честной монеты, теоретическая вероятность выпадения орла составляет 50%, и вероятность выпадения решки также составляет 50%. В начале эксперимента, после 100 подбрасываний, мы получили: Орёл: 80 раз Решка: 20 раз Это даёт соотношение 80% орлов и 20% решек, что сильно отличается от 50% на 50%. Это нормально для небольшого количества испытаний. Однако, когда мы продолжаем эксперимент и увеличиваем количество подбрасываний до 1000, а затем до 10000, закон больших чисел начинает действовать. Это означает, что частота выпадения орла и решки будет всё ближе и ближе к их истинным вероятностям, то есть к 50% на 50%. Рассмотрим предложенные утверждения: 1. Результат подбрасываний останется таким же случайным и непредсказуемым, как и при 100 подбрасываниях. Это неверно. Хотя каждое отдельное подбрасывание остаётся случайным, общая картина (частота) становится более предсказуемой и приближается к теоретической вероятности. 2. Соотношение выпадений орла и решки приблизится к 50% на 50%. Это утверждение точно соответствует закону больших чисел. Чем больше подбрасываний, тем ближе частота выпадения орла и решки будет к 50%. 3. Вероятность выпадения орла останется на уровне 80%. Это неверно. 80% — это была *частота* выпадения орла после 100 подбрасываний. *Вероятность* выпадения орла для честной монеты всегда 50%. Закон больших чисел говорит, что *частота* будет приближаться к *вероятности*. 4. Количество выпавших орлов будет значительно больше, чем решек. Это неверно. Наоборот, по мере увеличения числа подбрасываний, количество орлов и решек будет стремиться к равенству, то есть к соотношению 50% на 50%. Таким образом, наиболее точное утверждение, описывающее ожидаемый результат после 1000 подбрасываний (и тем более после 10000), согласно закону больших чисел, это то, что соотношение выпадений орла и решки приблизится к 50% на 50%. Ответ: Наиболее точное утверждение: Соотношение выпадений орла и решки приблизится к 50% на 50%.