Решение:

Контрольная работа по теме «Метод координат» I вариант Задание 1. Дано: \(\vec{b} \{3; -2\}\), \(\vec{c} \{-6; 2\}\). Найти: координаты и длину вектора \(\vec{a} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(-\vec{b}\): \(-\vec{b} \{-3; 2\}\). 2) Найдем координаты вектора \(\frac{1}{2}\vec{c}\): \(\frac{1}{2}\vec{c} \{\frac{1}{2} \cdot (-6); \frac{1}{2} \cdot 2\} = \{-3; 1\}\). 3) Найдем координаты вектора \(\vec{a}\), сложив соответствующие координаты: \(\vec{a} \{-3 + (-3); 2 + 1\} = \{-6; 3\}\). 4) Вычислим длину вектора \(\vec{a}\) по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Ответ: \(\vec{a} \{-6; 3\}\), \(|\vec{a}| = 3\sqrt{5}\). Задание 2. Дано: \(A(-6; 1)\), \(B(2; 4)\), \(C(2; -2)\). Доказать: \(\triangle ABC\) — равнобедренный. Найти: высоту, проведенную из вершины \(A\). Решение: 1) Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\): \(AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\). \(AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\). \(BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6\). Так как \(AB = AC = \sqrt{73}\), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный с основанием \(BC\). Что и требовалось доказать. 2) В равнобедренном треугольнике высота \(AH\), проведенная к основанию \(BC\), является также медианой. Значит, точка \(H\) — середина \(BC\). Координаты точки \(H\): \(x_H = \frac{2 + 2}{2} = 2\); \(y_H = \frac{4 + (-2)}{2} = 1\). \(H(2; 1)\). 3) Найдем длину высоты \(AH\): \(AH = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8\). Ответ: \(AH = 8\). Задание 3. Дано: уравнение окружности \((x - 1)^2 + y^2 = 9\). Найти: уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной оси ординат (\(Oy\)). Решение: 1) Из уравнения окружности \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\) определим координаты центра: Центр окружности точка \(O_1(1; 0)\). 2) Прямая, параллельная оси ординат (\(Oy\)), задается уравнением вида \(x = a\), где \(a\) — абсцисса всех точек этой прямой. Так как прямая проходит через точку \(O_1(1; 0)\), то её абсцисса \(x = 1\). Ответ: \(x = 1\).