Решение задачи по сопромату: Определение прогиба в точке A

Для решения данной задачи по сопротивлению материалов необходимо проанализировать каждую схему и определить прогиб в точке \(A\). Прогиб зависит от приложенных сил, моментов и жесткости балки \(EI\). Рассмотрим каждую схему: 1. Схема №1: В точке \(B\) приложена сила \(F\) вверх. В точке \(A\) приложен момент \(2Fl\) по часовой стрелке. Сила \(F\) вызывает прогиб вверх, а момент \(2Fl\) вызывает прогиб вниз. Прогиб от силы \(F\): \[ y_{F} = \frac{F \cdot (2l)^3}{3EI} + \frac{F \cdot (2l)^2}{2EI} \cdot 2l = \frac{8Fl^3}{3EI} + \frac{8Fl^3}{2EI} = \frac{20Fl^3}{3EI} \uparrow \] Прогиб от момента \(M = 2Fl\): \[ y_{M} = \frac{M \cdot (4l)^2}{2EI} = \frac{2Fl \cdot 16l^2}{2EI} = \frac{16Fl^3}{EI} \downarrow \] Суммарный прогиб будет значительным. 2. Схема №2: В точке \(B\) сила \(2F\) вверх, в точке \(A\) сила \(F\) вниз. Участок от заделки до \(B\) имеет удвоенную жесткость \(2EI\). Силы действуют в противоположных направлениях, что существенно уменьшает итоговый прогиб. Сила \(2F\) на плече \(2l\) стремится поднять балку, а \(F\) на плече \(4l\) — опустить. Из-за повышенной жесткости первой половины балки деформации будут минимальны. 3. Схема №3: В точке \(B\) сила \(2F\) вниз, в точке \(A\) сила \(F\) вверх. Жесткость второго участка \(2EI\). Здесь ситуация обратная: основная деформация происходит на первом, более мягком участке \(EI\) под действием большой силы \(2F\). Это приведет к заметному прогибу. 4. Схема №4: В точке \(B\) приложен момент \(2Fl\), в точке \(A\) сила \(F\) вниз. Момент в точке \(B\) создает угол поворота, который на длине \(2l\) даст большой линейный прогиб в точке \(A\). Анализ: Наименьшее по величине значение прогиба будет в схеме №2. Это объясняется тем, что: 1) Внешние нагрузки (\(2F\) вверх и \(F\) вниз) частично компенсируют друг друга по создаваемому моменту относительно заделки. 2) Участок балки у заделки (где возникают наибольшие изгибающие моменты) обладает повышенной жесткостью \(2EI\), что резко снижает углы поворота и линейные перемещения всей балки. Ответ: Вторая схема (сверху вниз).