Решение задачи: Определение прогиба балки

Для решения этой задачи необходимо оценить прогиб балки именно в сечении \(B\). Прогиб в этой точке зависит только от нагрузок, приложенных на участке от заделки до точки \(B\), а также от изгибающего момента, который передается от нагрузок на правой части балки (участок \(BA\)). Рассмотрим каждую схему и оценим прогиб \(y_B\): 1. Схема №1: В точке \(B\) действует сила \(F\) вверх. В точке \(A\) приложен момент \(M = 2Fl\). Сила \(F\) тянет точку \(B\) вверх. Момент в точке \(A\) постоянен по всей длине балки и изгибает её вниз. Прогиб от силы: \(y_{F} = \frac{F(2l)^3}{3EI} = \frac{8Fl^3}{3EI} \uparrow\) Прогиб от момента: \(y_{M} = \frac{M(2l)^2}{2EI} = \frac{2Fl \cdot 4l^2}{2EI} = \frac{4Fl^3}{EI} \downarrow\) Итоговый прогиб: \(|y_B| = |4 - 2.67| \frac{Fl^3}{EI} = 1.33 \frac{Fl^3}{EI}\). 2. Схема №2: В точке \(B\) приложен сосредоточенный момент \(M = 2Fl\) против часовой стрелки. В точке \(A\) сила \(F\) вниз. Момент в точке \(B\) изгибает участок заделки вверх. Сила \(F\) создает в сечении \(B\) изгибающий момент \(M_B = F \cdot 2l\), направленный вниз. Эти моменты в сечении \(B\) полностью уравновешивают друг друга (\(2Fl - 2Fl = 0\)). Однако на самом участке от заделки до \(B\) момент от силы \(F\) меняется линейно, а сосредоточенный момент постоянен. Это приведет к некоторому прогибу, но он будет мал. 3. Схема №3: В точке \(B\) сила \(2F\) вниз. В точке \(A\) сила \(F\) вверх. На точку \(B\) действует прямая сила \(2F\) вниз и момент от силы \(F\) (плечо \(2l\)), который тянет вверх. Прогиб от \(2F\): \(y_{2F} = \frac{2F(2l)^3}{3EI} = \frac{16Fl^3}{3EI} \approx 5.33 \frac{Fl^3}{EI} \downarrow\) Прогиб от \(F\): \(y_{F} = \frac{(F \cdot 2l)(2l)^2}{2EI} = \frac{4Fl^3}{EI} \uparrow\) Итоговый прогиб: \(|y_B| = |5.33 - 4| \frac{Fl^3}{EI} = 1.33 \frac{Fl^3}{EI}\). 4. Схема №4: В точке \(B\) сила \(2F\) вверх. В точке \(A\) сила \(F\) вниз. Жесткость первого участка увеличена (\(2EI\)). Прогиб от \(2F\): \(y_{2F} = \frac{2F(2l)^3}{3 \cdot 2EI} = \frac{16Fl^3}{6EI} = 2.67 \frac{Fl^3}{EI} \uparrow\) Прогиб от \(F\): \(y_{F} = \frac{(F \cdot 2l)(2l)^2}{2 \cdot 2EI} = \frac{8Fl^3}{4EI} = 2 \frac{Fl^3}{EI} \downarrow\) Итоговый прогиб: \(|y_B| = |2.67 - 2| \frac{Fl^3}{EI} = 0.67 \frac{Fl^3}{EI}\). Вывод: Наименьшее значение прогиба в сечении \(B\) достигается в схеме №4. Это происходит благодаря сочетанию двух факторов: 1) Противоположное направление сил \(2F\) и \(F\), которые компенсируют действие друг друга. 2) Удвоенная жесткость \(2EI\) на самом ответственном участке (от заделки до точки \(B\)), что в два раза уменьшает деформацию при прочих равных условиях. Ответ: Четвертая схема (самая нижняя).