Решение задачи: Определение угла поворота сечения B

Для решения этой задачи необходимо определить угол поворота сечения \( B \) для каждой из четырех схем. Угол поворота сечения \( \theta_B \) в консольной балке на расстоянии \( z = 2l \) от заделки определяется интегралом Мора или методом начальных параметров. В общем виде для участка от заделки до точки \( B \): \[ \theta_B = \int_{0}^{2l} \frac{M(z)}{EI} dz \] Где \( M(z) \) — изгибающий момент на первом участке (от заделки до \( B \)). Проанализируем каждую схему, учитывая знаки моментов (пусть момент, вызывающий растяжение верхних волокон, будет положительным): 1) Первая схема: На участке до \( B \) действуют: сосредоточенный момент \( M = 2Fl \) (по часовой стрелке, растягивает верхние волокна) и сила \( F \) на плече \( (2l + 2l - z) \). Суммарный момент в сечении \( z \): \( M(z) = 2Fl + F \cdot (4l - z) \). Все слагаемые одного знака, угол поворота будет значительным. 2) Вторая схема: На участке до \( B \) действуют: сила \( 2F \) вниз в точке \( B \) и сила \( F \) вверх в точке \( A \). Момент: \( M(z) = 2F \cdot (2l - z) - F \cdot (4l - z) \). При \( z = 0 \): \( M(0) = 4Fl - 4Fl = 0 \). При \( z = 2l \): \( M(2l) = 0 - 2Fl = -2Fl \). Средний момент на участке отрицательный, происходит частичная компенсация. 3) Третья схема: На участке до \( B \) жесткость повышена (\( 2EI \)). Действуют: сила \( 2F \) вверх в точке \( B \) и сила \( F \) вниз в точке \( A \). Момент: \( M(z) = -2F \cdot (2l - z) + F \cdot (4l - z) \). При \( z = 0 \): \( M(0) = -4Fl + 4Fl = 0 \). При \( z = 2l \): \( M(2l) = 0 + 2Fl = 2Fl \). Заметим, что из-за \( 2EI \) в знаменателе формулы, угол поворота \( \theta_B \) будет в два раза меньше, чем при обычной жесткости при тех же нагрузках. 4) Четвертая схема: На участке до \( B \) действуют: сила \( F \) вверх в точке \( B \) и момент \( 2Fl \) в точке \( A \). Момент: \( M(z) = -F \cdot (2l - z) - 2Fl \). Оба силовых фактора изгибают балку в одну сторону (вниз), увеличивая угол поворота. Сравнение: Во второй и третьей схемах моменты от сил \( F \) и \( 2F \) направлены в разные стороны, что приводит к их взаимной компенсации в заделке (\( M = 0 \)). Однако в третьей схеме жесткость балки на рассматриваемом участке в 2 раза выше (\( 2EI \)). Так как \( \theta_B = \frac{1}{EI_{участка}} \cdot \int M(z) dz \), то при одинаковом распределении моментов \( M(z) \) во второй и третьей схемах (с точностью до знака), в третьей схеме знаменатель больше. Следовательно, значение угла поворота будет минимальным именно там. Правильный ответ: 3 (схема, где на первом участке жесткость \( 2EI \) и приложены разнонаправленные силы \( 2F \) и \( F \)).