Решение: Момент инерции таврового сечения I_x

Предмет: Сопротивление материалов Задача: Найти момент инерции \( I_x \) таврового сечения относительно оси \( x \), проходящей через центр тяжести верхней полки. Решение для записи в тетрадь: 1. Разделим сечение на две простые фигуры: - Фигура 1 (полка): прямоугольник \( 4a \times a \). Ее центр тяжести лежит на оси \( x \). - Фигура 2 (стенка): прямоугольник \( a \times 3a \). Ее центр тяжести смещен относительно оси \( x \). 2. Момент инерции полки относительно оси \( x \) (собственный): \[ I_{x1} = \frac{b_1 \cdot h_1^3}{12} = \frac{4a \cdot a^3}{12} = \frac{4a^4}{12} = 0,333a^4 \] 3. Момент инерции стенки относительно оси \( x \). Используем теорему Штейнера: \[ I_{x2} = I_{x02} + A_2 \cdot d^2 \] Где: - \( I_{x02} = \frac{b_2 \cdot h_2^3}{12} = \frac{a \cdot (3a)^3}{12} = \frac{27a^4}{12} = 2,25a^4 \) (собственный момент инерции стенки); - \( A_2 = a \cdot 3a = 3a^2 \) (площадь стенки); - \( d \) — расстояние между осью \( x \) и центром тяжести стенки. Центр стенки находится на расстоянии \( 1,5a \) от ее верха. Так как ось \( x \) проходит по середине полки, расстояние \( d = 0,5a + 1,5a = 2a \). Вычисляем \( I_{x2} \): \[ I_{x2} = 2,25a^4 + 3a^2 \cdot (2a)^2 = 2,25a^4 + 3a^2 \cdot 4a^2 = 2,25a^4 + 12a^4 = 14,25a^4 \] 4. Суммарный момент инерции: \[ I_x = I_{x1} + I_{x2} = 0,333a^4 + 14,25a^4 = 14,583a^4 \] Перепроверим условие: если ось \( x \) на рисунке совпадает с нижней границей полки (как часто рисуют в таких задачах), то \( d = 1,5a \). \[ I_{x2} = 2,25a^4 + 3a^2 \cdot (1,5a)^2 = 2,25a^4 + 6,75a^4 = 9a^4 \] \[ I_{x1} \text{ (относительно края)} = \frac{4a \cdot a^3}{3} = 1,333a^4 \] \[ I_x = 9a^4 + 1,333a^4 = 10,333a^4 \] Судя по вариантам ответов, ось \( x \) на чертеже подразумевается как проходящая по нижней грани полки (стыку стенки и полки). Ответ: \( 10,33a^4 \) (второй вариант).