Решение задачи: Определение прогиба балки

Для решения этой задачи необходимо вычислить прогиб в точке \(B\) для каждого из четырех вариантов. Прогиб в точке \(B\) зависит только от нагрузок, приложенных на участке от заделки до точки \(B\), и от момента, передающегося с правой части балки (участка \(BA\)). Рассмотрим каждый вариант (считаем прогиб \(y_B\) по модулю): 1. Первый вариант: На участке до \(B\) действует сила \(2F\) вниз и момент от силы \(F\) на конце. Момент в точке \(B\) от силы \(F\) равен \(M_B = F \cdot 2l\). Используя метод начальных параметров или таблицу прогибов для консоли длиной \(L = 2l\): \[ y_B = \frac{(2F) \cdot (2l)^3}{3EI} - \frac{(F \cdot 2l) \cdot (2l)^2}{2EI} = \frac{16Fl^3}{3EI} - \frac{4Fl^3}{EI} = \frac{16-12}{3} \frac{Fl^3}{EI} = \frac{4}{3} \frac{Fl^3}{EI} \approx 1,33 \frac{Fl^3}{EI} \] 2. Второй вариант: Здесь жесткость первого участка \(2EI\). Нагрузки: сила \(2F\) вверх и момент от силы \(F\) вниз (\(M_B = -F \cdot 2l\)). \[ y_B = \frac{(2F) \cdot (2l)^3}{3(2EI)} - \frac{(F \cdot 2l) \cdot (2l)^2}{2(2EI)} = \frac{16Fl^3}{6EI} - \frac{4Fl^3}{4EI} = \frac{8}{3} \frac{Fl^3}{EI} - \frac{Fl^3}{EI} = \frac{5}{3} \frac{Fl^3}{EI} \approx 1,67 \frac{Fl^3}{EI} \] 3. Третий вариант: Жесткость \(EI\). Нагрузки: сила \(F\) вверх и сосредоточенный момент \(2Fl\) по часовой стрелке. \[ y_B = \frac{F \cdot (2l)^3}{3EI} + \frac{(2Fl) \cdot (2l)^2}{2EI} = \frac{8Fl^3}{3EI} + \frac{4Fl^3}{EI} = \frac{8+12}{3} \frac{Fl^3}{EI} = \frac{20}{3} \frac{Fl^3}{EI} \approx 6,67 \frac{Fl^3}{EI} \] 4. Четвертый вариант: Жесткость \(EI\). Нагрузки: сосредоточенный момент \(2Fl\) против часовой стрелки в точке \(B\) и сила \(F\) вниз на конце (создает момент \(F \cdot 2l\) в точке \(B\)). \[ y_B = \frac{(F \cdot 2l) \cdot (2l)^2}{2EI} + \frac{(2Fl) \cdot (2l)^2}{2EI} = \frac{4Fl^3}{EI} + \frac{4Fl^3}{EI} = \frac{8Fl^3}{EI} = 8 \frac{Fl^3}{EI} \] (Примечание: сила \(F\) на конце сама по себе не дает прогиба в \(B\) как сила, но ее момент относительно заделки влияет на кривизну участка до \(B\)). Сравним полученные коэффициенты: 1) \(1,33\) 2) \(1,67\) 3) \(6,67\) 4) \(8,0\) Наибольшее значение прогиба получается в четвертом варианте. Ответ: Четвертая схема (нижняя).