Решение задачи на определение прогиба балки в точке D

Для решения этой задачи необходимо оценить прогиб в точке \(D\) для каждой схемы. Точка \(D\) в данных случаях находится либо в середине пролета между опорами, либо на опоре. Рассмотрим каждую схему: 1. Первая схема: Точка \(D\) находится посередине пролета длиной \(L = 4l\). На балку в этой точке действует сосредоточенная сила \(F\) и сосредоточенный момент \(M = 2Fl\). Прогиб от силы \(F\) в центре пролета: \[ y_F = \frac{F \cdot (4l)^3}{48EI} = \frac{64Fl^3}{48EI} = \frac{4}{3} \frac{Fl^3}{EI} \approx 1,33 \frac{Fl^3}{EI} \] Момент \(M\) в центре пролета двухшарнирной балки прогиба не вызывает (он вызывает только поворот сечения), так как эпюра моментов от него антисимметрична. 2. Вторая схема: Точка \(D\) находится посередине пролета \(BC\) длиной \(4l\). В этой точке приложен момент \(M = 2Fl\). Как отмечено выше, сосредоточенный момент в центре пролета не создает прогиба в самой точке приложения (точка перегиба). Прогиб будет вызван только моментами на опорах от консольных частей, но они здесь уравновешивают друг друга или малы. 3. Третья схема: Здесь точка \(D\) на схеме не обозначена явно буквами, но если рассматривать аналогию с предыдущими задачами (середина пролета), то в центре пролета \(BC\) (длиной \(4l\)) нет прямых нагрузок. Нагрузка \(F\) на консоли создает момент на опоре \(B\), равный \(M_B = F \cdot l\). Прогиб в середине пролета от момента на опоре: \[ y = \frac{M_B \cdot (4l)^2}{16EI} = \frac{Fl \cdot 16l^2}{16EI} = 1 \frac{Fl^3}{EI} \] 4. Четвертая схема: В этой схеме точка \(D\) совпадает с правой опорой \(C\). Прогиб на жесткой опоре всегда равен нулю: \[ y_D = 0 \] Сравним результаты: В первой схеме прогиб в точке \(D\) составляет примерно \(1,33 \frac{Fl^3}{EI}\). Это наибольшее значение среди представленных вариантов, так как в этой схеме сила \(F\) приложена непосредственно в пролете, что дает самый существенный вклад в деформацию. Ответ: Первая схема (верхняя).