Решение задачи: Построение эпюры углов закручивания вала

Решение задачи на построение эпюры углов закручивания вала. Вопрос: Эпюра изменения углов поворота сечений вала показана на схеме: Анализ: 1. Рассмотрим распределение крутящих моментов \( M_z \) по длине вала, начиная от свободного (правого) конца: - На правом участке длиной \( 2l \) действует момент от крайней правой пары сил. Судя по обозначениям (точка и крестик), этот момент постоянен на всем участке. - На левом участке длиной \( l \) (ближе к заделке) к моменту от правой пары добавляется момент от средней пары сил. Поскольку направления векторов в средней и правой точках противоположны (точка и крестик), моменты вычитаются. 2. Оценим характер изменения угла поворота \( \phi(x) \): - Угол поворота в заделке (слева) всегда равен \( 0 \). - На каждом участке с постоянным крутящим моментом угол поворота изменяется по линейному закону: \( \phi(x) = \frac{M_z \cdot x}{GI_p} \). - Тангенс угла наклона линии на эпюре пропорционален величине крутящего момента \( M_z \). 3. Сравним схемы: - На схемах 2 и 4 мы видим горизонтальные участки. Горизонтальный участок на эпюре углов означает, что \( M_z = 0 \) на этом отрезке. Однако на нашей балке моменты приложены так, что на правом участке длиной \( 2l \) момент точно не равен нулю. Значит, схемы 2 и 4 неверны. - Остаются схемы 1 и 3. На схеме 1 угол в конце первого участка равен \( a \), а в конце второго — \( 3a \). Это значит, что на втором участке (длиной \( 2l \)) приращение угла составило \( 3a - a = 2a \). - На схеме 3 угол в конце первого участка равен \( a \), а в конце второго — \( 7a \). Приращение на участке \( 2l \) составило \( 7a - a = 6a \). 4. Проверка по моментам (предположим, что моменты кратны \( M \)): Если на первом участке \( M_{z1} = M \), то \( \phi_1 = \frac{M \cdot l}{GI_p} = a \). Если на втором участке момент, например, \( 3M \), то приращение угла на длине \( 2l \) составит: \[ \Delta \phi = \frac{3M \cdot 2l}{GI_p} = 6 \cdot \frac{Ml}{GI_p} = 6a \] Тогда суммарный угол на конце будет \( a + 6a = 7a \). Это в точности соответствует схеме 3. Ответ: 3.