Решение задачи: Момент сопротивления изгибу относительно оси Y

Вопрос: Момент сопротивления изгибу относительно оси \( y \) равен: Решение: 1. Момент сопротивления изгибу \( W_y \) определяется по формуле: \[ W_y = \frac{I_y}{x_{max}} \] где \( I_y \) — момент инерции сечения относительно оси \( y \), а \( x_{max} \) — расстояние от оси \( y \) до самой удаленной точки сечения. 2. Сечение состоит из двух прямоугольников. Ось \( y \) является осью симметрии для обоих, поэтому общий момент инерции \( I_y \) равен сумме моментов инерции этих прямоугольников: - Для верхнего (горизонтального) прямоугольника с размерами \( 3a \) (ширина вдоль \( x \)) и \( a \) (высота вдоль \( y \)): \[ I_{y1} = \frac{a \cdot (3a)^3}{12} = \frac{a \cdot 27a^3}{12} = \frac{27a^4}{12} = \frac{9}{4}a^4 \] - Для нижнего (вертикального) прямоугольника с размерами \( a \) (ширина вдоль \( x \)) и \( 3a \) (высота вдоль \( y \)): \[ I_{y2} = \frac{3a \cdot a^3}{12} = \frac{3a^4}{12} = \frac{1}{4}a^4 \] 3. Находим общий момент инерции \( I_y \): \[ I_y = I_{y1} + I_{y2} = \frac{9}{4}a^4 + \frac{1}{4}a^4 = \frac{10}{4}a^4 = \frac{5}{2}a^4 \] 4. Определяем максимальное расстояние от оси \( y \) до края сечения (\( x_{max} \)). Ширина самой широкой части (верхней полки) равна \( 3a \). Так как ось \( y \) проходит посередине: \[ x_{max} = \frac{3a}{2} = 1,5a \] 5. Вычисляем момент сопротивления \( W_y \): \[ W_y = \frac{I_y}{x_{max}} = \frac{\frac{5}{2}a^4}{\frac{3}{2}a} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{a^4}{a} = \frac{5}{3}a^3 \] Ответ: \( \frac{5}{3}a^3 \) (второй вариант).