Решение задачи: консольная балка с сосредоточенным моментом

Для решения этой задачи необходимо проанализировать характер распределения изгибающего момента по длине балки, изображенной на предыдущем шаге (консольная балка с сосредоточенным моментом \( M \) в точке \( B \)). 1. Анализ изгибающего момента: На участке AB (от заделки до точки приложения момента) изгибающий момент постоянен и равен \( M \). \[ M(x) = const = M \] 2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси: Согласно закону Гука при изгибе, кривизна оси балки прямо пропорциональна изгибающему моменту: \[ \frac{1}{\rho} = \frac{M(x)}{EI} \] где \( \rho \) — радиус кривизны, \( E \) — модуль упругости, \( I \) — момент инерции сечения. 3. Определение формы кривой: Так как на нагруженном участке AB момент \( M \) является величиной постоянной (\( M = const \)), то и кривизна балки на этом участке будет постоянной: \[ \frac{1}{\rho} = const \] Геометрическое место точек с постоянной кривизной — это окружность (или ее часть). Следовательно, изогнутая ось балки на участке, где действует постоянный момент, представляет собой дугу окружности. 4. Математическое подтверждение: Если дважды проинтегрировать уравнение \( EI \frac{d^2y}{dx^2} = M \), где \( M \) — константа, мы получим уравнение квадратичной функции (параболы): \[ y(x) = \frac{M x^2}{2EI} + C_1 x + C_2 \] Однако в сопротивлении материалов, когда говорят о "чистом изгибе" (когда \( M = const \)), классическим и наиболее точным ответом для формы оси считается именно дуга окружности, так как именно она обладает свойством постоянства радиуса кривизны. Правильный ответ: дугу окружности