Решение задачи на устойчивость стержня по формуле Эйлера

Для решения этой задачи необходимо сравнить критические силы для каждого стержня. Первым потеряет устойчивость тот стержень, у которого критическая сила \( F_{cr} \) минимальна. Критическая сила по формуле Эйлера определяется как: \[ F_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2} \] где \( \mu \) — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. Чем больше \( \mu \), тем меньше критическая сила и тем легче стержень теряет устойчивость. Рассмотрим коэффициенты \( \mu \) для представленных схем: 1. Схема 1: Стержень одним концом жестко защемлен, а другой конец свободен (консоль). Для такого случая коэффициент приведения длины: \[ \mu_1 = 2 \] 2. Схема 2: Стержень одним концом жестко защемлен, а другой имеет скользящую заделку (направляющие), которая допускает вертикальное перемещение, но запрещает поворот. Для такого случая коэффициент приведения длины: \[ \mu_2 = 1 \] 3. Схема 3: Стержень одним концом жестко защемлен, а другой конец закреплен шарнирно-подвижной опорой. Для такого случая коэффициент приведения длины: \[ \mu_3 \approx 0,7 \] Сравним коэффициенты: \[ \mu_1 = 2 > \mu_2 = 1 > \mu_3 = 0,7 \] Так как у первого стержня коэффициент \( \mu \) самый большой, его критическая сила будет самой маленькой: \[ F_{cr1} = \frac{\pi^2 EI}{4l^2} \] Это минимальное значение среди всех трех вариантов. Следовательно, при возрастании нагрузки стержень 1 первым достигнет своего критического значения и потеряет устойчивость. Правильный ответ: 1