Площади фигур
Задача 1. Треугольники \(ABC\) и \(BMK\) имеют равные высоты: \(AH = BO\). Известно, что \(BC = 8\), \(S_{ABC} = 25\), \(MK = 5\). Чему равна площадь треугольника \(BMK\)?
Решение:
1. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]
2. Для треугольника \(ABC\) имеем: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH\]
3. Подставим известные значения: \[25 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AH\]
4. Упростим уравнение: \[25 = 4 \cdot AH\]
5. Найдем высоту \(AH\): \[AH = \frac{25}{4} = 6.25\]
6. По условию задачи, высоты треугольников \(ABC\) и \(BMK\) равны, то есть \(AH = BO\). Значит, \(BO = 6.25\).
7. Для треугольника \(BMK\) имеем: \[S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot BO\]
8. Подставим известные значения \(MK = 5\) и \(BO = 6.25\): \[S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6.25\]
9. Вычислим площадь треугольника \(BMK\): \[S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot 31.25 = 15.625\]
Ответ: Площадь треугольника \(BMK\) равна \(15.625\).
Задача 2. В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KL\) и \(MN\), \(\angle N = 30^\circ\), \(KL = 4\), \(MN = 12\), \(KN = 10\). Какова площадь трапеции?
Решение:
1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{KL + MN}{2} \cdot h\] где \(h\) – высота трапеции.
2. Проведем высоту \(KP\) из вершины \(K\) к основанию \(MN\). Тогда \(KP\) – это высота трапеции \(h\).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KPN\). В этом треугольнике \(\angle N = 30^\circ\), а гипотенуза \(KN = 10\).
4. Высота \(KP\) является катетом, лежащим напротив угла в \(30^\circ\). Известно, что катет, лежащий напротив угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
5. Следовательно, \(h = KP = \frac{1}{2} \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\).
6. Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади трапеции: \(KL = 4\), \(MN = 12\), \(h = 5\).
7. Подставим эти значения в формулу площади трапеции: \[S_{KLMN} = \frac{4 + 12}{2} \cdot 5\]
8. Вычислим: \[S_{KLMN} = \frac{16}{2} \cdot 5\] \[S_{KLMN} = 8 \cdot 5\] \[S_{KLMN} = 40\]
Ответ: Площадь трапеции \(KLMN\) равна \(40\).