Решение задачи: Определение прогиба балки

Для решения этой задачи необходимо вычислить прогиб в точке \(A\) для каждого из четырех вариантов, используя метод начальных параметров или метод Мора (перемножение эпюр). Прогиб \(y_A\) зависит от жесткости \(EI\), длин участков и приложенных нагрузок. Рассмотрим каждый вариант (сверху вниз): 1) Первый вариант: На балку действует сила \(F\) вверх в середине и пара сил (момент) \(M = 2Fl\) на конце. Прогиб от силы \(F\): \(y_F = \frac{F \cdot (2l)^3}{3EI} + \frac{F \cdot (2l)^2}{2EI} \cdot 2l = \frac{8Fl^3}{3EI} + \frac{8Fl^3}{2EI} = \frac{20Fl^3}{3EI}\) (вверх). Прогиб от момента \(M\): \(y_M = \frac{M \cdot (4l)^2}{2EI} = \frac{2Fl \cdot 16l^2}{2EI} = \frac{16Fl^3}{EI}\) (вверх). Суммарный прогиб очень велик. 2) Второй вариант: Сила \(2F\) вниз в точке \(B\), сила \(F\) вверх в точке \(A\). Жесткость на участке \(BA\) увеличена (\(2EI\)). Сила \(2F\) создает прогиб вниз, сила \(F\) — вверх. Они частично компенсируют друг друга. \[y_A = \frac{F \cdot (4l)^3}{3 \cdot (среднее \ EI)} - \dots\] Здесь значение будет существенным, так как силы действуют в разные стороны, но плечо силы \(F\) в два раза больше. 3) Третий вариант: Сила \(2F\) вверх в точке \(B\), сила \(F\) вниз в точке \(A\). Жесткость на участке заделки выше (\(2EI\)). Этот случай симметричен второму по направлению, но за счет того, что более жесткая часть (\(2EI\)) находится у заделки (где максимальный изгибающий момент), общая деформация балки будет меньше, чем во втором варианте. 4) Четвертый вариант: Момент \(M = 2Fl\) в точке \(B\) (против часовой стрелки) и сила \(F\) вниз в точке \(A\). Момент \(M\) изгибает балку вверх: \(y_M = \frac{M \cdot (2l)^2}{2EI} + \frac{M \cdot 2l}{EI} \cdot 2l = \frac{2Fl \cdot 4l^2}{2EI} + \frac{4Fl^3}{EI} = \frac{8Fl^3}{EI}\) (вверх). Сила \(F\) изгибает вниз: \(y_F = \frac{F \cdot (4l)^3}{3EI} = \frac{64Fl^3}{3EI} \approx 21,3 \frac{Fl^3}{EI}\) (вниз). Разность: \(21,3 - 8 = 13,3 \frac{Fl^3}{EI}\). Сравнение: Наименьшее по величине (модулю) значение прогиба достигается там, где нагрузки максимально компенсируют друг друга и где жесткость конструкции выше в местах наибольших моментов. В третьем варианте сила \(2F\) на плече \(2l\) создает момент \(4Fl\), а сила \(F\) на плече \(4l\) создает момент \(4Fl\) в обратную сторону. В заделке суммарный момент от сил равен нулю (\(M_{заделки} = 2F \cdot 2l - F \cdot 4l = 0\)). Это означает, что основная часть балки почти не изгибается у основания. Правильный ответ: Третий вариант (с силой \(2F\) вверх в точке \(B\), силой \(F\) вниз в точке \(A\) и жесткостью \(2EI\) на левом участке).