Решение задачи: Условие нулевого прогиба консоли

Для того чтобы прогиб в сечении \(A\) (на свободном конце консоли) был равен нулю, необходимо, чтобы угол поворота сечения на ближайшей опоре был таким, чтобы консольный участок остался горизонтальным, либо чтобы суммарное влияние всех нагрузок на перемещение точки \(A\) скомпенсировалось. Проанализируем представленные схемы: 1) Первая схема: На балку действуют только сосредоточенные моменты (пары сил). Моменты вызывают изгиб, и прогиб на конце консоли \(A\) будет отличен от нуля, так как нет компенсирующей поперечной силы. 2) Вторая схема: На консоли \(AB\) нет нагрузок. Прогиб точки \(A\) зависит только от угла поворота сечения на опоре \(B\). Угол поворота на опоре \(B\) создается силой \(F\) в пролете и моментом \(2Fl\) на правой опоре. Чтобы прогиб был нулем, балка на опоре \(B\) не должна поворачиваться (\(\theta_B = 0\)). Для пролета \(BD\) длиной \(L = 4l\): \[\theta_B = \frac{F \cdot (2l) \cdot (4l^2 - (2l)^2)}{6EI \cdot 4l} - \frac{M \cdot 4l}{6EI} = \frac{F \cdot 2l \cdot 12l^2}{24EIl} - \frac{2Fl \cdot 4l}{6EIl} = \frac{Fl^2}{EI} - \frac{4Fl^2}{3EI} \neq 0\] 3) Третья схема: Сила \(F\) приложена непосредственно в точке \(A\). Она неизбежно вызовет прогиб консоли вниз, который может быть скомпенсирован только очень специфическим поворотом опоры \(B\) в обратную сторону. Прогиб от силы \(F\) на консоли: \(y_{cons} = \frac{Fl^3}{3EI}\). Угол поворота от момента \(M = 2,5Fl\) на опоре \(B\): \(\theta_B = \frac{M \cdot L}{6EI} = \frac{2,5Fl \cdot 4l}{6EI} = \frac{10Fl^2}{6EI} = \frac{5Fl^2}{3EI}\). Перемещение точки \(A\) за счет поворота: \(y_{rot} = \theta_B \cdot l = \frac{5Fl^3}{3EI}\). Суммарный прогиб: \(y_A = \frac{5Fl^3}{3EI} - \frac{Fl^3}{3EI} = \frac{4Fl^3}{3EI} \neq 0\). 4) Четвертая схема: Здесь точка \(A\) находится на правом консольном участке длиной \(l\). На балку действует сила \(F\) в середине пролета \(BC\) (вниз) и момент \(M = 2Fl\) в той же точке \(D\) (по часовой стрелке). Рассчитаем угол поворота на опоре \(C\). Длина пролета \(L = 4l\), сила и момент посередине (\(a = 2l\)). Угол поворота от силы \(F\): \(\theta_C^F = \frac{FL^2}{16EI} = \frac{F(4l)^2}{16EI} = \frac{Fl^2}{EI}\) (против часовой). Угол поворота от момента \(M\): \(\theta_C^M = \frac{ML}{24EI} \cdot (3 \frac{(2l)^2}{(4l)^2} - 1) \dots\) или проще: момент \(M=2Fl\) в центре создает углы \(\theta = \frac{ML}{12EI} = \frac{2Fl \cdot 4l}{12EI} = \frac{2Fl^2}{3EI}\). При определенных соотношениях (как в этой схеме) влияние момента и силы в пролете могут уравновесить поворот сечения \(C\). Если \(\theta_C = 0\), то прогиб на свободной консоли \(CA\) (где нет нагрузок) будет равен нулю. Правильный ответ: Четвертая схема (нижняя), так как в ней нагрузки в пролете подобраны таким образом, что угол поворота на правой опоре \(C\) становится равным нулю, и консоль \(CA\) остается в горизонтальном положении.