Решение задачи: Момент инерции таврового сечения

Для решения задачи сравним моменты инерции таврового сечения относительно осей \(x\) и \(y\). Сечение состоит из двух прямоугольников: горизонтального (полка) размером \(a \times 3a\) и вертикального (стенка) размером \(3a \times a\). 1. Вычислим момент инерции относительно оси \(y\). Ось \(y\) является осью симметрии для обоих прямоугольников. Момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной стороне \(h\), равен \(I = \frac{h \cdot b^3}{12}\). Для полки: \(I_{y1} = \frac{a \cdot (3a)^3}{12} = \frac{27a^4}{12} = 2,25a^4\). Для стенки: \(I_{y2} = \frac{3a \cdot a^3}{12} = \frac{3a^4}{12} = 0,25a^4\). Суммарный момент: \[ I_y = 2,25a^4 + 0,25a^4 = 2,5a^4 \] 2. Вычислим момент инерции относительно оси \(x\). Ось \(x\) совпадает с основанием полки. Для полки (относительно основания): \(I_{x1} = \frac{b \cdot h^3}{3} = \frac{3a \cdot a^3}{3} = a^4\). Для стенки (относительно оси, проходящей через ее край): \(I_{x2} = \frac{b \cdot h^3}{3} = \frac{a \cdot (3a)^3}{3} = \frac{27a^4}{3} = 9a^4\). Суммарный момент: \[ I_x = a^4 + 9a^4 = 10a^4 \] 3. Сравнение: Мы видим, что \(I_x = 10a^4\), а \(I_y = 2,5a^4\). Следовательно, \(I_x > I_y\). Физический смысл: относительно оси \(x\) большая часть площади сечения (особенно стенка) распределена значительно дальше от оси, чем относительно оси \(y\), что приводит к большему моменту инерции. Ответ: больше