Решение задачи на устойчивость стержней

Для решения этой задачи необходимо сравнить критические силы для трех стержней с разными условиями закрепления. Первым потеряет устойчивость тот стержень, у которого критическая сила \( F_{кр} \) будет наименьшей. Решение: 1. Критическая сила по формуле Эйлера определяется как: \[ F_{кр} = \frac{\pi^2 E I}{(\mu l)^2} \] где \( \mu \) — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. Чем больше \( \mu \), тем меньше критическая сила и тем легче стержню потерять устойчивость. 2. Определим коэффициенты \( \mu \) для каждого случая: - Случай 1: Стержень одним концом жестко защемлен, а другой конец свободен. Для такой схемы коэффициент приведения длины равен: \[ \mu_1 = 2 \] - Случай 2: Стержень обоими концами жестко защемлен (на рисунке показаны скользящие заделки, препятствующие повороту). Для жесткого защемления обоих концов: \[ \mu_2 = 0,5 \] - Случай 3: Стержень одним концом жестко защемлен, а другой конец закреплен шарнирно. Для такой схемы: \[ \mu_3 \approx 0,7 \] 3. Сравним значения критических сил: Так как \( \mu_1 = 2 \) — это самое большое значение коэффициента, то знаменатель в формуле Эйлера для первого стержня будет максимальным: \[ (\mu_1 l)^2 = (2l)^2 = 4l^2 \] Следовательно, критическая сила \( F_{кр1} \) будет самой маленькой среди всех представленных вариантов. 4. Вывод: Стержень с наименьшей критической силой потеряет устойчивость первым при возрастании нагрузки. Это стержень под номером 1. Ответ: 1