Решение Задачи по Сопромату: Определение Угла Поворота Сечения B

Для решения данной задачи по сопротивлению материалов необходимо найти угол поворота сечения \( B \) для каждой из четырех предложенных схем и выбрать ту, где это значение минимально (наименьшее по модулю). Угол поворота сечения \( \theta_B \) в консольной балке на расстоянии \( z = 2l \) от заделки определяется интегралом Мора или методом начальных параметров. В общем виде для участка от заделки до точки \( B \): \[ \theta_B = \int_{0}^{2l} \frac{M(z)}{EI} dz \] Рассмотрим каждую схему: 1. Схема №1: На балку действуют пара сил в точке \( B \), создающая момент \( M = 2Fl \) (против часовой стрелки), и сила \( F \) на конце \( A \). Момент на участке от заделки до \( B \): \( M(z) = 2Fl - F \cdot (4l - z) \). В точке \( B \) (при \( z = 2l \)): \( M_B = 2Fl - F(2l) = 0 \). Суммарный эффект моментов от пары сил и силы \( F \) на участке заделка-B частично компенсирует друг друга. 2. Схема №2: Здесь в точке \( A \) приложена пара сил с моментом \( 2Fl \) (по часовой стрелке) и сила \( F \) вверх в точке \( B \). Момент на участке от заделки до \( B \): \( M(z) = -2Fl + F \cdot (2l - z) \). Здесь оба силовых фактора вызывают поворот в одну сторону (отрицательный), что увеличивает итоговый угол. 3. Схема №3: Сила \( 2F \) вниз в точке \( B \) и сила \( F \) вверх в точке \( A \). Момент на участке от заделки до \( B \): \( M(z) = -2F(2l - z) + F(4l - z) \). Упростим: \( M(z) = -4Fl + 2Fz + 4Fl - Fz = Fz \). Угол поворота: \[ \theta_B = \int_{0}^{2l} \frac{Fz}{EI} dz = \frac{F \cdot (2l)^2}{2EI} = \frac{2Fl^2}{EI} \] 4. Схема №4: Сила \( 2F \) вверх в точке \( B \) и сила \( F \) вниз в точке \( A \). Жесткость на первом участке \( 2EI \). Момент на участке от заделки до \( B \): \( M(z) = 2F(2l - z) - F(4l - z) = 4Fl - 2Fz - 4Fl + Fz = -Fz \). Угол поворота с учетом повышенной жесткости \( 2EI \): \[ \theta_B = \int_{0}^{2l} \frac{-Fz}{2EI} dz = -\frac{F \cdot (2l)^2}{2 \cdot 2EI} = -\frac{Fl^2}{EI} \] Анализ: В первой схеме внешние моменты от силы \( F \) и пары сил \( 2Fl \) в точке \( B \) направлены противоположно. Момент от силы \( F \) в заделке равен \( 4Fl \), а пара сил дает \( 2Fl \). Они вычитаются, что значительно снижает кривизну балки на участке до точки \( B \). Однако, если рассмотреть схему №2, там знаки совпадают. Наименьший угол поворота будет в схеме №1, так как приложенный в точке \( B \) сосредоточенный момент \( 2Fl \) направлен в сторону, противоположную моменту от силы \( F \), действующей на плече. Это приводит к тому, что эпюра моментов на участке заделки имеет минимальную площадь, а следовательно, и угол поворота \( \theta_B \) стремится к нулю. Ответ: Первая схема (верхняя).