Решение: Эпюра углов поворота вала при кручении

Задача: Определение эпюры углов поворота сечений вала при кручении. Дано: Вал жестко защемлен слева. На него действуют два сосредоточенных момента: \(M\) в середине вала и \(2M\) на свободном правом конце. Оба момента направлены в одну сторону (по часовой стрелке, если смотреть справа). Решение: 1. Определим крутящие моменты на участках вала методом сечений. Идем от свободного правого конца к заделке. На первом участке (справа, длиной \(l\)): \[M_{z1} = 2M\] На втором участке (слева, ближе к заделке, длиной \(l\)): \[M_{z2} = 2M + M = 3M\] 2. Вычислим углы поворота сечений \(\varphi\). Формула для угла поворота: \[\varphi = \frac{M_z \cdot x}{G \cdot I_{\rho}}\] где \(a = \frac{M \cdot l}{G \cdot I_{\rho}}\) — это базовое значение угла поворота на участке длиной \(l\) от момента \(M\). В заделке (левый край) угол поворота равен нулю: \(\varphi_0 = 0\). Угол поворота в середине вала (конец второго участка): \[\varphi_{mid} = \frac{M_{z2} \cdot l}{G \cdot I_{\rho}} = \frac{3M \cdot l}{G \cdot I_{\rho}} = 3a\] Угол поворота на правом конце вала: \[\varphi_{end} = \varphi_{mid} + \frac{M_{z1} \cdot l}{G \cdot I_{\rho}} = 3a + \frac{2M \cdot l}{G \cdot I_{\rho}} = 3a + 2a = 5a\] 3. Анализ предложенных эпюр: На эпюре 2 мы видим: - В заделке значение 0. - В середине вала значение \(a\). - На конце значение \(3a\). Это не соответствует нашим расчетам. На эпюре 3 мы видим: - В заделке значение 0. - В середине вала значение \(2a\). - На конце значение \(3a\). Это также не соответствует суммарному моменту. Однако, если внимательно посмотреть на направление стрелок моментов на схеме: момент \(M\) в середине и момент \(2M\) на конце направлены в ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ стороны (стрелка \(M\) идет "от нас" сверху, а \(2M\) "на нас" сверху). Пересчитаем с учетом разных направлений: Пусть момент \(2M\) положительный, тогда \(M\) отрицательный. На правом участке: \(M_{z1} = 2M\). Угол на расстоянии \(l\): \(\varphi = 2a\). На левом участке: \(M_{z2} = 2M - M = M\). Приращение угла на левом участке: \(\Delta \varphi = a\). Тогда в середине будет \(a\), а на конце \(a + 2a = 3a\). Это в точности соответствует эпюре под номером 2. Ответ: 2