Решение задачи на устойчивость стержня

Для решения этой задачи необходимо сравнить критические силы для трех стержней с разными условиями закрепления. Первым потеряет устойчивость тот стержень, у которого критическая сила \( F_{кр} \) будет наименьшей. Критическая сила определяется по формуле Эйлера: \[ F_{кр} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2} \] где \( \mu \) — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. Чем больше \( \mu \), тем меньше критическая сила и тем легче стержень теряет устойчивость. Рассмотрим коэффициенты \( \mu \) для каждой схемы: 1. Схема 1: Стержень защемлен одним концом, а другой конец свободен (консоль). Для такого закрепления коэффициент приведения длины: \[ \mu_1 = 2 \] 2. Схема 2: Стержень жестко защемлен с обоих концов. Для такого закрепления коэффициент приведения длины: \[ \mu_2 = 0,5 \] 3. Схема 3: Стержень защемлен одним концом, а другой конец закреплен шарнирно. Для такого закрепления коэффициент приведения длины: \[ \mu_3 \approx 0,7 \] Сравним значения коэффициентов: \[ \mu_1 (2) > \mu_3 (0,7) > \mu_2 (0,5) \] Так как коэффициент \( \mu \) стоит в знаменателе формулы Эйлера в квадрате, наименьшая критическая сила будет у стержня с наибольшим \( \mu \). Для первого стержня: \[ F_{кр1} = \frac{\pi^2 EI}{(2l)^2} = \frac{\pi^2 EI}{4l^2} = 0,25 \frac{\pi^2 EI}{l^2} \] Это самое маленькое значение силы среди представленных вариантов. Следовательно, стержень №1 потеряет устойчивость первым. Ответ: 1