Решение задачи: Определение угла поворота консольной балки

Для решения этой задачи необходимо определить угол поворота сечения \( B \) для каждой из четырех консольных балок. Угол поворота сечения \( B \) зависит только от изгибающего момента на участке от заделки до точки \( B \) (длиной \( 2l \)). Формула для угла поворота: \[ \theta_B = \int_0^{2l} \frac{M(x)}{EI(x)} dx \] Рассмотрим каждую схему (сверху вниз): 1. Схема 1: На участке от заделки до \( B \) действуют: сила \( F \) на плече (момент \( F \cdot (2l + x) \)) и пара сил с моментом \( 2Fl \). Суммарный момент на участке заделки будет значительным, так как внешние нагрузки действуют в одном направлении (создают изгиб в одну сторону). 2. Схема 2: На участке от заделки до \( B \) жесткость увеличена (\( 2EI \)). Сила \( F \) на конце и сила \( 2F \) в точке \( B \) направлены в разные стороны. Момент от силы \( F \): \( M_F = F \cdot (2l + x) \). Момент от силы \( 2F \): \( M_{2F} = -2F \cdot x \). В точке \( B \) (где \( x=0 \) от точки \( B \) к заделке) момент равен \( F \cdot 2l \). Из-за разного направления сил и высокой жесткости \( 2EI \) угол будет небольшим, но не нулевым. 3. Схема 3: На участке от заделки до \( B \) жесткость обычная (\( EI \)). Сила \( F \) на конце направлена вверх, а сила \( 2F \) в точке \( B \) направлена вниз. Рассчитаем момент в сечении на расстоянии \( z \) от заделки (\( 0 \le z \le 2l \)): \[ M(z) = F \cdot (4l - z) - 2F \cdot (2l - z) = 4Fl - Fz - 4Fl + 2Fz = Fz \] В самой заделке (\( z=0 \)) момент \( M = 0 \). В точке \( B \) (\( z=2l \)) момент \( M = 2Fl \). Средний момент на участке невелик. 4. Схема 4: На участке от заделки до \( B \) действуют: сила \( F \) вверх в точке \( B \) и пара сил с моментом \( 2Fl \) на конце. Момент от пары сил \( M_{пара} = -2Fl \) (постоянный по всей длине). Момент от силы \( F \) в точке \( B \) на участке от заделки до \( B \): \( M_F = F \cdot (2l - z) \). Суммарный момент на участке заделка-\( B \): \[ M(z) = F(2l - z) - 2Fl = 2Fl - Fz - 2Fl = -Fz \] В заделке (\( z=0 \)) момент \( M = 0 \). В точке \( B \) (\( z=2l \)) момент \( M = -2Fl \). По модулю значения моментов такие же, как в схеме 3, но здесь жесткость на участке \( B-A \) меньше, что не влияет на угол в точке \( B \). Сравнение: В схемах 3 и 4 момент в заделке равен нулю (\( M=0 \)), так как внешние нагрузки уравновешивают друг друга относительно точки закрепления. В схемах 1 и 2 момент в заделке отличен от нуля. Наименьший угол поворота будет там, где площадь эпюры моментов \( \frac{M}{EI} \) на участке от заделки до \( B \) минимальна. В схемах 3 и 4 эпюра момента — это треугольник с катетами \( 2l \) и \( 2Fl \). Однако в схеме 2 за счет жесткости \( 2EI \) знаменатель больше, что сильнее уменьшает итоговое значение угла. Если проанализировать направление нагрузок, во второй схеме сила \( 2F \) в точке \( B \) направлена вверх, а сила \( F \) на конце — вниз. Они создают моменты противоположных знаков, которые частично компенсируют друг друга, а повышенная жесткость \( 2EI \) на этом участке делает деформацию минимальной. Ответ: 2 (вторая схема сверху)