Решение задачи: определение центра тяжести составного сечения

Решение задачи по определению центра тяжести составного сечения. Для нахождения координаты центра тяжести \( X_c \) сложной фигуры, состоящей из нескольких простых, используется формула: \[ X_c = \frac{A_1 \cdot x_1 + A_2 \cdot x_2}{A_1 + A_2} \] где \( A_i \) — площадь \( i \)-й фигуры, а \( x_i \) — координата центра тяжести этой фигуры относительно выбранной оси (в данном случае — левого края сечения). 1. Разделим сечение на два прямоугольника: Первый (вертикальный): размеры \( a \times 3a \). Второй (горизонтальный): размеры \( 3a \times a \). 2. Определим площади: \[ A_1 = a \cdot 3a = 3a^2 \] \[ A_2 = 3a \cdot a = 3a^2 \] 3. Определим координаты центров тяжести каждой фигуры относительно левого края: Для первого прямоугольника центр находится посередине его ширины \( a \): \[ x_1 = \frac{a}{2} = 0,5a \] Для второго прямоугольника центр находится посередине его длины \( 3a \), но сам прямоугольник начинается после первого (отступ на расстояние \( a \)): \[ x_2 = a + \frac{3a}{2} = a + 1,5a = 2,5a \] 4. Вычислим общую координату \( X_c \): \[ X_c = \frac{(3a^2 \cdot 0,5a) + (3a^2 \cdot 2,5a)}{3a^2 + 3a^2} \] \[ X_c = \frac{1,5a^3 + 7,5a^3}{6a^2} \] \[ X_c = \frac{9a^3}{6a^2} = 1,5a \] Правильный ответ: \( 1,5 \ a \)