Решение задачи: Момент инерции составного сечения

Задача по сопротивлению материалов: нахождение момента инерции составного сечения относительно оси x. Дано: Сечение состоит из двух прямоугольников. 1. Верхний прямоугольник (полка): ширина \( b_1 = 3a \), высота \( h_1 = a \). 2. Нижний прямоугольник (стенка): ширина \( b_2 = a \), высота \( h_2 = 3a \). Ось x проходит по нижней границе верхней полки (как показано на чертеже). Решение: Общий момент инерции сечения относительно оси x равен сумме моментов инерции каждого прямоугольника относительно этой же оси: \[ I_x = I_{x1} + I_{x2} \] 1. Для верхнего прямоугольника (полка): Ось x совпадает с его основанием. Момент инерции прямоугольника относительно его основания вычисляется по формуле: \[ I_{x1} = \frac{b_1 \cdot h_1^3}{3} \] Подставляем значения: \[ I_{x1} = \frac{3a \cdot a^3}{3} = a^4 \] 2. Для нижнего прямоугольника (стенка): Ось x совпадает с его верхней стороной. Момент инерции прямоугольника относительно его стороны (в данном случае верхней) также вычисляется по формуле: \[ I_{x2} = \frac{b_2 \cdot h_2^3}{3} \] Подставляем значения: \[ I_{x2} = \frac{a \cdot (3a)^3}{3} = \frac{a \cdot 27a^3}{3} = 9a^4 \] 3. Находим суммарный момент инерции: \[ I_x = a^4 + 9a^4 = 10a^4 \] Ответ: \( 10a^4 \)