Задание 4. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
1) \( (3a - b^2)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 3a \) и \( y = b^2 \). \( (3a - b^2)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (b^2) + (b^2)^2 = 9a^2 - 6ab^2 + b^4 \)
2) \( (2a + b^3)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 2a \) и \( y = b^3 \). \( (2a + b^3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (b^3) + (b^3)^2 = 4a^2 + 4ab^3 + b^6 \)
3) \( (5a - 4b)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 5a \) и \( y = 4b \). \( (5a - 4b)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot (5a) \cdot (4b) + (4b)^2 = 25a^2 - 40ab + 16b^2 \)
4) \( (4a + 3b)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 4a \) и \( y = 3b \). \( (4a + 3b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2 \)
5) \( (6a - 0,5b)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 6a \) и \( y = 0,5b \). \( (6a - 0,5b)^2 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot (0,5b) + (0,5b)^2 = 36a^2 - 6ab + 0,25b^2 \)
6) \( (10a + 0,1b)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 10a \) и \( y = 0,1b \). \( (10a + 0,1b)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot (10a) \cdot (0,1b) + (0,1b)^2 = 100a^2 + 2ab + 0,01b^2 \)
7) \( (2,5 - 2a)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 2,5 \) и \( y = 2a \). \( (2,5 - 2a)^2 = (2,5)^2 - 2 \cdot (2,5) \cdot (2a) + (2a)^2 = 6,25 - 10a + 4a^2 \)
8) \( (0,4a + 5b)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 0,4a \) и \( y = 5b \). \( (0,4a + 5b)^2 = (0,4a)^2 + 2 \cdot (0,4a) \cdot (5b) + (5b)^2 = 0,16a^2 + 4ab + 25b^2 \)
9) \( (11 - 5b)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 11 \) и \( y = 5b \). \( (11 - 5b)^2 = (11)^2 - 2 \cdot (11) \cdot (5b) + (5b)^2 = 121 - 110b + 25b^2 \)
10) \( (14 + 3b)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 14 \) и \( y = 3b \). \( (14 + 3b)^2 = (14)^2 + 2 \cdot (14) \cdot (3b) + (3b)^2 = 196 + 84b + 9b^2 \)
Задание 5. Выполните возведение в квадрат:
1) \( (x^2 - y)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = x^2 \) и \( y = y \). \( (x^2 - y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot (x^2) \cdot y + y^2 = x^4 - 2x^2y + y^2 \)
2) \( (y + x^3)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = y \) и \( y = x^3 \). \( (y + x^3)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot (x^3) + (x^3)^2 = y^2 + 2yx^3 + x^6 \)
3) \( (4x - 3y^2)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 4x \) и \( y = 3y^2 \). \( (4x - 3y^2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (3y^2) + (3y^2)^2 = 16x^2 - 24xy^2 + 9y^4 \)
4) \( (5x^2 + 2y)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 5x^2 \) и \( y = 2y \). \( (5x^2 + 2y)^2 = (5x^2)^2 + 2 \cdot (5x^2) \cdot (2y) + (2y)^2 = 25x^4 + 20x^2y + 4y^2 \)
5) \( (2x + 0,5x^2)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 2x \) и \( y = 0,5x^2 \). \( (2x + 0,5x^2)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (0,5x^2) + (0,5x^2)^2 = 4x^2 + 2x^3 + 0,25x^4 \)
6) \( (0,2x - 3x^3)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 0,2x \) и \( y = 3x^3 \). \( (0,2x - 3x^3)^2 = (0,2x)^2 - 2 \cdot (0,2x) \cdot (3x^3) + (3x^3)^2 = 0,04x^2 - 1,2x^4 + 9x^6 \)
7) \( \left( \frac{1}{3}x^2 + 6x^3 \right)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = \frac{1}{3}x^2 \) и \( y = 6x^3 \). \( \left( \frac{1}{3}x^2 + 6x^3 \right)^2 = \left( \frac{1}{3}x^2 \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3}x^2 \right) \cdot (6x^3) + (6x^3)^2 \) \( = \frac{1}{9}x^4 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot x^2 \cdot x^3 + 36x^6 \) \( = \frac{1}{9}x^4 + 4x^5 + 36x^6 \)
8) \( (4x - x^2)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 4x \) и \( y = x^2 \). \( (4x - x^2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (x^2) + (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 \)
9) \( \left( \frac{1}{4}x - 2y^2 \right)^2 \) Используем формулу квадрата разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) Здесь \( x = \frac{1}{4}x \) и \( y = 2y^2 \). \( \left( \frac{1}{4}x - 2y^2 \right)^2 = \left( \frac{1}{4}x \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{1}{4}x \right) \cdot (2y^2) + (2y^2)^2 \) \( = \frac{1}{16}x^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot x \cdot y^2 + 4y^4 \) \( = \frac{1}{16}x^2 - xy^2 + 4y^4 \)
10) \( (3y^3 + x^2)^2 \) Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) Здесь \( x = 3y^3 \) и \( y = x^2 \). \( (3y^3 + x^2)^2 = (3y^3)^2 + 2 \cdot (3y^3) \cdot (x^2) + (x^2)^2 = 9y^6 + 6y^3x^2 + x^4 \)