Решение задачи: Плотность вероятности в квантовой яме

Вопрос 8 Решение: Дано: \( L = 6 \, нм \) — ширина ямы \( n = 3 \) — квантовое число \( x = \frac{L}{2} \) — центр ямы Найти: \( |\psi|^2 \) (в \( нм^{-1} \)) 1. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой прямоугольной яме шириной \( L \) имеет вид: \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \] 2. Плотность вероятности \( P(x) \) определяется как квадрат модуля волновой функции: \[ P(x) = |\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \] 3. Подставим значения для центра ямы (\( x = L/2 \)) и квантового числа \( n = 3 \): \[ P(L/2) = \frac{2}{6} \sin^2\left(\frac{3 \pi \cdot (L/2)}{L}\right) = \frac{1}{3} \sin^2\left(\frac{3\pi}{2}\right) \] 4. Так как \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \), то его квадрат равен: \[ \sin^2\left(\frac{3\pi}{2}\right) = (-1)^2 = 1 \] 5. Вычисляем итоговое значение плотности вероятности: \[ P = \frac{1}{3} \cdot 1 \approx 0,333 \, нм^{-1} \] Ответ: 0,333