Решение задач: зависимость от заряда ядра Z и плотность вероятности

Ниже представлены решения для последних двух задач, оформленные для записи в тетрадь. Вопрос 7. Как зависят в стационарном состоянии водородоподобного атома от заряда ядра \( Z \): Решение: Для водородоподобного атома (атом с одним электроном и зарядом ядра \( Ze \)) основные характеристики зависят от \( Z \) следующим образом: 1. Боровский радиус (радиус n-й орбиты): Формула: \[ r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2 Z} \] Следовательно, радиус обратно пропорционален заряду ядра: Зависимость: \( 1/Z \) 2. Энергия: Формула: \[ E_n = -\frac{m e^4 Z^2}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2} \] Следовательно, энергия прямо пропорциональна квадрату заряда ядра: Зависимость: \( Z^2 \) Вопрос 8. Чему равняется плотность вероятности (в ед. \( 1/R_B \)) найти электрон в основном состоянии атома водорода на расстоянии \( r = 2.9 R_B \) от ядра? Решение: В квантовой механике плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии \( r \) от ядра для основного состояния (\( n=1 \)) описывается радиальной функцией распределения: \[ P(r) = \frac{4r^2}{R_B^3} e^{-2r/R_B} \] Где \( R_B \) — боровский радиус. Нам нужно найти значение в единицах \( 1/R_B \), то есть вычислить величину \( P(r) \cdot R_B \). Подставим \( r = 2.9 R_B \): \[ P(2.9 R_B) = \frac{4 \cdot (2.9 R_B)^2}{R_B^3} e^{-2 \cdot \frac{2.9 R_B}{R_B}} \] \[ P(2.9 R_B) = \frac{4 \cdot 8.41 \cdot R_B^2}{R_B^3} e^{-5.8} \] \[ P(2.9 R_B) = \frac{33.64}{R_B} e^{-5.8} \] Вычислим значение экспоненты: \( e^{-5.8} \approx 0.003027 \). \[ P \approx \frac{33.64 \cdot 0.003027}{R_B} \approx \frac{0.1018}{R_B} \] Округляя до сотых, получаем 0.10. Ответ: 0.10