Разложение функции sin(x/2) в ряд Фурье на отрезке [-π;π]

Ниже представлено решение трех задач на разложение функций в ряд Фурье на отрезке \([-\pi; \pi]\). Задача 1. Разложить в ряд Фурье функцию \(f(x) = \sin \frac{x}{2}\). Функция \(f(x) = \sin \frac{x}{2}\) является нечетной на отрезке \([-\pi; \pi]\). Для нечетной функции коэффициенты \(a_0 = 0\) и \(a_n = 0\). Вычислим коэффициенты \(b_n\): \[b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} \sin(nx) dx\] Используя формулу произведения синусов \(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))\): \[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left( \cos(x(n - 1/2)) - \cos(x(n + 1/2)) \right) dx\] \[b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(x(n - 1/2))}{n - 1/2} - \frac{\sin(x(n + 1/2))}{n + 1/2} \right]_0^{\pi}\] Подставляя пределы и учитывая, что \(\sin(n\pi - \pi/2) = -\cos(n\pi) = -(-1)^n\), а \(\sin(n\pi + \pi/2) = \cos(n\pi) = (-1)^n\): \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{-(-1)^n}{n - 1/2} - \frac{(-1)^n}{n + 1/2} \right) = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{2}{2n-1} + \frac{2}{2n+1} \right) = \frac{8n(-1)^{n+1}}{\pi(4n^2 - 1)}\] Ответ для ввода: Первое поле (\(a_0/2\)): 0 Второе поле (\(a_n\)): 0 Третье поле (\(b_n\)): (8*n*(-1)^(n+1))/(pi*(4*n^2-1)) Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию \(f(x) = \pi^2 - 23x^2\). Функция четная, значит \(b_n = 0\). Вычислим \(a_0\): \[a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 23x^2) dx = \frac{2}{\pi} \left[ \pi^2 x - \frac{23x^3}{3} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} (\pi^3 - \frac{23\pi^3}{3}) = 2\pi^2(1 - 23/3) = -\frac{40\pi^2}{3}\] Тогда \(a_0/2 = -20\pi^2/3\). Вычислим \(a_n\): \[a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 23x^2) \cos(nx) dx\] Интегрируя по частям дважды, получим: \[a_n = -\frac{23 \cdot 2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = -\frac{46}{\pi} \left( \frac{x^2 \sin(nx)}{n} \bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{2x \sin(nx)}{n} dx \right) = \frac{92}{n\pi} \int_0^{\pi} x \sin(nx) dx\] \[a_n = \frac{92}{n\pi} \left( -\frac{x \cos(nx)}{n} \bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} dx \right) = \frac{92}{n\pi} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{92(-1)^{n+1}}{n^2}\] Ответ для ввода: Первое поле: -20*pi^2/3 Второе поле: (92*(-1)^(n+1))/n^2 Третье поле: 0 Задача 3. Разложить в ряд Фурье кусочную функцию. Вычислим \(a_0\): \[a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 5x dx + \int_{0}^{\pi} (-4x) dx \right) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{5x^2}{2} \bigg|_{-\pi}^0 - \frac{4x^2}{2} \bigg|_0^{\pi} \right) = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{5\pi^2}{2} - 2\pi^2 \right) = -4.5\pi\] Следовательно, \(a_0/2 = -2.25\pi\) или \(-9pi/4\). Вычислим \(a_n\): \[a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 5x \cos(nx) dx + \int_{0}^{\pi} (-4x) \cos(nx) dx \right) = \frac{1}{\pi n^2} \left( 5(1 - (-1)^n) - 4((-1)^n - 1) \right) = \frac{9(1 - (-1)^n)}{\pi n^2}\] Вычислим \(b_n\): \[b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 5x \sin(nx) dx + \int_{0}^{\pi} (-4x) \sin(nx) dx \right) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{5\pi(-1)^{n+1}}{n} + \frac{4\pi(-1)^n}{n} \right) = \frac{9(-1)^{n+1}}{n}\] Сумма ряда в точке \(x_0 = \pi\) по теореме Дирихле: \[S(\pi) = \frac{f(-\pi+0) + f(\pi-0)}{2} = \frac{5(-\pi) + (-4\pi)}{2} = -4.5\pi\] Ответ для ввода: Первое поле: -9*pi/4 Второе поле: (9*(1-(-1)^n))/(pi*n^2) Третье поле: (9*(-1)^(n+1))/n Значение суммы в точке \(x_0 = \pi\): -4.5*pi