Решение задачи: представление комплексного числа в различных формах

Ниже представлено решение задач с комплексными числами, оформленное для записи в тетрадь. Вопрос 1. Представление числа \(z = 3^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot i\) в различных формах. Сначала упростим алгебраическую форму. Заметим, что \(3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). Таким образом, \(z = 3\sqrt{3} + 3i\). Здесь действительная часть \(x = 3\sqrt{3}\), мнимая часть \(y = 3\). 1. Найдем модуль комплексного числа \(r\): \[r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\] 2. Найдем аргумент \(\varphi\). Так как \(x > 0\) и \(y > 0\), число находится в 1-й четверти: \[\text{tg}(\varphi) = \frac{y}{x} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\] Отсюда \(\varphi = \text{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}\). Тригонометрическая форма: \[z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = 6(\cos(\pi/6) + i \sin(\pi/6))\] Показательная форма: \[z = r \cdot e^{i\varphi} = 6 \cdot e^{i\pi/6}\] Координатная четверть: Так как и действительная, и мнимая части положительны, число расположено в 1 четверти. Вопрос 2. Записать комплексное число, изображенное на плоскости. На графике мы видим вектор, конец которого лежит на окружности радиуса \(R = 3\). Точка находится в первой четверти. Судя по сетке, проекция на ось \(Re(z)\) больше, чем на ось \(Im(z)\). Для табличного значения угла в первой четверти, где радиус равен 3, точка соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\) (30 градусов). Координаты точки: \[x = 3 \cdot \cos(\pi/6) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3}\] \[y = 3 \cdot \sin(\pi/6) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5\] Запись числа в алгебраической форме: \[z = 1.5\sqrt{3} + 1.5i\] (Или, если требуется запись через корень: \(z = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i\))