Решение задач с комплексными числами: деление и умножение

Ниже представлено решение задач с комплексными числами, оформленное для записи в тетрадь. Вопрос 3. Найти частное комплексных чисел \(z_1 = 7 + 3i\) и \(z_2 = 3 + 4i\). Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на \((3 - 4i)\): \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{7 + 3i}{3 + 4i} = \frac{(7 + 3i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}\] Раскроем скобки в числителе, учитывая, что \(i^2 = -1\): \[(7 + 3i)(3 - 4i) = 21 - 28i + 9i - 12i^2 = 21 - 19i + 12 = 33 - 19i\] Вычислим знаменатель: \[(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] Итоговый результат: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{33 - 19i}{25} = 1.32 - 0.76i\] Вопрос 4. Найти произведение комплексных чисел \(z_1 = -2 - 6i\) и \(z_2 = -3 + 6i\). Перемножим числа в скобках: \[z_1 \cdot z_2 = (-2 - 6i)(-3 + 6i) = (-2)(-3) + (-2)(6i) + (-6i)(-3) + (-6i)(6i)\] \[z_1 \cdot z_2 = 6 - 12i + 18i - 36i^2\] Так как \(i^2 = -1\), то \(-36i^2 = 36\): \[z_1 \cdot z_2 = 6 + 6i + 36 = 42 + 6i\] Вопрос 5. Выполнить действия в показательной форме. Для извлечения корня используется формула: \(\sqrt[n]{r e^{i\varphi}} = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\varphi + 2\pi k}{n}}\), где \(k = 0, 1\). 1) \(\sqrt{9}\) Подкоренное число: \(9 = 9 e^{i \cdot 0}\) Корни: \(z_1 = 3 e^{i \cdot 0} = 3\), \(z_2 = 3 e^{i \cdot \pi} = -3\) Ответ: \(9 e^{i \cdot 0}\); {3, -3} 2) \(\sqrt{-9}\) Подкоренное число: \(-9 = 9 e^{i \cdot \pi}\) Корни: \(z_1 = 3 e^{i \pi/2} = 3i\), \(z_2 = 3 e^{i 3\pi/2} = -3i\) Ответ: \(9 e^{i \cdot pi}\); {3i, -3i} 3) \(\sqrt{36i}\) Подкоренное число: \(36i = 36 e^{i \pi/2}\) Корни: \(z_1 = 6 e^{i \pi/4}\), \(z_2 = 6 e^{i 5\pi/4}\) В алгебраической форме: \(z_1 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i\), \(z_2 = -3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i\) Ответ: \(36 e^{i \cdot pi/2}\); {6e^(i*pi/4), 6e^(i*5pi/4)} 4) \(\sqrt{-36i}\) Подкоренное число: \(-36i = 36 e^{i 3\pi/2}\) (или \(36 e^{-i \pi/2}\)) Корни: \(z_1 = 6 e^{i 3\pi/4}\), \(z_2 = 6 e^{i 7\pi/4}\) В алгебраической форме: \(z_1 = -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i\), \(z_2 = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i\) Ответ: \(36 e^{i \cdot 3pi/2}\); {6e^(i*3pi/4), 6e^(i*7pi/4)}