Решение уравнения |(z+5)/(z-3i)| = 1

Для решения этих задач представим комплексное число в виде \( z = x + iy \), где \( x \) — действительная часть (\( Re z \)), а \( y \) — мнимая часть (\( Im z \)). Вопрос 4. Дано уравнение: \[ \left| \frac{z + 5}{z - 3i} \right| = 1 \] Используя свойство модуля дроби, перепишем уравнение: \[ |z + 5| = |z - 3i| \] Подставим \( z = x + iy \): \[ |x + iy + 5| = |x + iy - 3i| \] \[ |(x + 5) + iy| = |x + i(y - 3)| \] Возведем обе части в квадрат (модуль в квадрате равен сумме квадратов действительной и мнимой частей): \[ (x + 5)^2 + y^2 = x^2 + (y - 3)^2 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 10x + 25 + y^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 \] Сократим \( x^2 \) и \( y^2 \): \[ 10x + 25 = -6y + 9 \] Выразим \( y \): \[ 6y = -10x - 25 + 9 \] \[ 6y = -10x - 16 \] \[ y = -\frac{10}{6}x - \frac{16}{6} \] Сократим дроби: \[ y = -\frac{5}{3}x - \frac{8}{3} \] Ответ для Вопроса 4: \( -5/3*x - 8/3 \) Вопрос 5. Дано уравнение: \[ Re(6z + 1) = Im(z - 5i) \] Подставим \( z = x + iy \): 1. Найдем левую часть: \[ 6z + 1 = 6(x + iy) + 1 = (6x + 1) + i(6y) \] \[ Re(6z + 1) = 6x + 1 \] 2. Найдем правую часть: \[ z - 5i = x + iy - 5i = x + i(y - 5) \] \[ Im(z - 5i) = y - 5 \] Приравняем части: \[ 6x + 1 = y - 5 \] Выразим \( y \): \[ y = 6x + 1 + 5 \] \[ y = 6x + 6 \] Ответ для Вопроса 5: \( 6x + 6 \)