Решение задач с комплексными числами

Ниже представлено решение задач с изображения, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Выделить вещественную и мнимую части функции \( w = 2z\bar{z} - 2z \). Пусть \( z = x + iy \), тогда сопряженное число \( \bar{z} = x - iy \). Подставим эти выражения в функцию: \[ w = 2(x + iy)(x - iy) - 2(x + iy) \] Используя формулу разности квадратов \( (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 \), получаем: \[ w = 2(x^2 + y^2) - 2x - 2iy \] \[ w = (2x^2 + 2y^2 - 2x) + i(-2y) \] Ответ: \( Re \, w = 2x^2 + 2y^2 - 2x \) \( Im \, w = -2y \) Задача 2. Вычислить значение экспоненциальной функции \( w = e^{6 + i \cdot \frac{5\pi}{6}} \). Используем формулу Эйлера \( e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b) \): \[ w = e^6 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) \] Значения тригонометрических функций: \( \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \). Подставляем: \[ w = e^6 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}e^6}{2} + i \frac{e^6}{2} \] Ответ: \( Re \, w = -\frac{\sqrt{3}e^6}{2} \) \( Im \, w = \frac{e^6}{2} \) Задача 3. Вычислить значение логарифмической функции \( w = \ln(-4) \). Используем формулу для комплексного логарифма \( \ln z = \ln |z| + i (\arg z + 2\pi k) \). Для главного значения (при \( k=0 \)): Число \( z = -4 \) находится на отрицательной части вещественной оси, значит: \( |z| = 4 \), \( \arg z = \pi \). \[ w = \ln 4 + i\pi \] Ответ: \( Re \, w = \ln 4 \) \( Im \, w = \pi \) Задача 4. Найти значение производной функции \( f(z) = \text{arctg} \, z \) в точке \( z_0 = 5 + 4i \). Производная арктангенса: \[ f'(z) = \frac{1}{1 + z^2} \] Подставим \( z_0 = 5 + 4i \): \[ z_0^2 = (5 + 4i)^2 = 25 + 40i + 16i^2 = 25 + 40i - 16 = 9 + 40i \] Тогда: \[ f'(z_0) = \frac{1}{1 + 9 + 40i} = \frac{1}{10 + 40i} = \frac{1}{10(1 + 4i)} \] Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив на сопряженное \( (1 - 4i) \): \[ f'(z_0) = \frac{1 - 4i}{10(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{1 - 4i}{10(1^2 + 4^2)} = \frac{1 - 4i}{10(1 + 16)} = \frac{1 - 4i}{170} \] \[ f'(z_0) = \frac{1}{170} - i \frac{4}{170} = \frac{1}{170} - i \frac{2}{85} \] Ответ: \( Re \, f'(z_0) = \frac{1}{170} \) \( Im \, f'(z_0) = -\frac{2}{85} \)