Решение задачи на условия Коши-Римана

Ниже представлено решение задач со второго изображения, оформленное для записи в тетрадь. Вопрос 5. Выберите пару функций \( U(x,y) \) и \( V(x,y) \), удовлетворяющих условиям Коши-Римана. Условия Коши-Римана имеют вид: \[ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial V}{\partial x} \] Проверим функции из списка. Рассмотрим пару: \( U(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 3y \) \( V(x,y) = 3x^2y + 3x - y^3 \) Находим частные производные: \[ \frac{\partial U}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2 \] \[ \frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2 \] Первое условие выполняется: \( 3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2 \). Находим вторые производные: \[ \frac{\partial U}{\partial y} = -6xy - 3 \] \[ \frac{\partial V}{\partial x} = 6xy + 3 \] Второе условие выполняется: \( -6xy - 3 = -(6xy + 3) \). Ответ: \( U(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 3y \) \( V(x,y) = 3x^2y + 3x - y^3 \) Вопрос 6. Для функции \( f(z) = U + iV \) известна мнимая часть \( V(x,y) = e^x \sin y + 6xy \). Найти \( U(x,y) \). Используем условия Коши-Римана: 1) \( \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y + 6xy) = e^x \cos y + 6x \) Интегрируем по \( x \): \[ U = \int (e^x \cos y + 6x) dx = e^x \cos y + 3x^2 + \varphi(y) \] 2) \( \frac{\partial U}{\partial y} = -e^x \sin y + \varphi'(y) \) По второму условию Коши-Римана \( \frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial V}{\partial x} \): \[ -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin y + 6xy) = -(e^x \sin y + 6y) = -e^x \sin y - 6y \] Сравниваем: \[ -e^x \sin y + \varphi'(y) = -e^x \sin y - 6y \Rightarrow \varphi'(y) = -6y \] Интегрируем: \( \varphi(y) = -3y^2 + C \). Итого: \( U(x,y) = e^x \cos y + 3x^2 - 3y^2 + C \). Среди вариантов ответа подходит: Ответ: \( U(x,y) = e^x \cos y + 3x^2 - 3y^2 \) Вопрос 7. Найти коэффициент растяжения в точке \( z_0 = 1 + i \) при отображении \( f(z) = z^3 - 6z \). Коэффициент растяжения \( k \) равен модулю производной функции в данной точке: \( k = |f'(z_0)| \). 1) Находим производную: \[ f'(z) = 3z^2 - 6 \] 2) Вычисляем значение производной в точке \( z_0 = 1 + i \): \[ z_0^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] \[ f'(z_0) = 3(2i) - 6 = -6 + 6i \] 3) Находим модуль полученного комплексного числа: \[ k = |f'(z_0)| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \] Приближенное значение: \( 6 \cdot 1,4142... \approx 8,485... \) Обычно в таких задачах требуется точный ответ или округление. Если вводить десятичной дробью: Ответ: 8,49 (или \( 6\sqrt{2} \), если система принимает радикалы).