Решение интеграла ∫(1 - 3z)^2 dz

Ниже представлено решение задачи с третьего изображения, оформленное для записи в тетрадь. Задача. Вычислить интеграл \[ \int_{(L)} (1 - 3z)^2 dz \] по линии \( (L) \), соединяющей точки \( A(1/3; 0) \) и \( B(0; 1) \). Решение: Так как подынтегральная функция \( f(z) = (1 - 3z)^2 \) является аналитической (голоморфной) во всей комплексной плоскости, значение интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. Мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. 1) Определим комплексные координаты точек: Начальная точка \( z_1 = \frac{1}{3} + 0i = \frac{1}{3} \) Конечная точка \( z_2 = 0 + 1i = i \) 2) Найдем первообразную функции \( f(z) = (1 - 3z)^2 \): Для удобства раскроем квадрат или воспользуемся заменой: \[ F(z) = \int (1 - 3z)^2 dz \] Пусть \( u = 1 - 3z \), тогда \( du = -3 dz \), откуда \( dz = -\frac{1}{3} du \). \[ F(z) = \int u^2 \left( -\frac{1}{3} \right) du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^3}{3} = -\frac{(1 - 3z)^3}{9} \] 3) Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \[ I = F(z_2) - F(z_1) = \left[ -\frac{(1 - 3z)^3}{9} \right]_{1/3}^{i} \] \[ I = -\frac{(1 - 3i)^3}{9} - \left( -\frac{(1 - 3 \cdot \frac{1}{3})^3}{9} \right) \] \[ I = -\frac{(1 - 3i)^3}{9} + \frac{0^3}{9} = -\frac{(1 - 3i)^3}{9} \] 4) Возведем выражение в скобках в куб по формуле \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \): \[ (1 - 3i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot 3i + 3 \cdot 1 \cdot (3i)^2 - (3i)^3 \] \[ (1 - 3i)^3 = 1 - 9i + 3 \cdot (-9) - 27i^3 \] Так как \( i^2 = -1 \) и \( i^3 = -i \): \[ (1 - 3i)^3 = 1 - 9i - 27 + 27i = -26 + 18i \] 5) Окончательно находим значение интеграла: \[ I = -\frac{-26 + 18i}{9} = \frac{26 - 18i}{9} = \frac{26}{9} - \frac{18}{9}i = \frac{26}{9} - 2i \] Таким образом, комплексное число имеет вид \( x + iy \), где: \( x = 26/9 \) \( y = -2 \) Ответ: Укажите значение \( x \): 26/9 Укажите значение \( y \): -2