Решение интеграла методом Коши

Ниже представлено решение задач с пятого изображения, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Вычислить интеграл \[ \oint_{|z-1-2i|=1} \frac{dz}{\pi \cdot (z+2)(z-1-2i)^2} \] 1) Определим контур: это окружность с центром в точке \( z_c = 1 + 2i \) и радиусом \( R = 1 \). 2) Найдем особые точки: \( z_1 = -2 \) (простой полюс) \( z_2 = 1 + 2i \) (полюс второго порядка) 3) Проверим их положение: Точка \( z_1 = -2 \) находится вне контура, так как \( |-2 - (1 + 2i)| = |-3 - 2i| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} > 1 \). Точка \( z_2 = 1 + 2i \) является центром контура, она лежит внутри. 4) Используем обобщенную интегральную формулу Коши для полюса \( n \)-го порядка: \[ \oint_L \frac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} g^{(n)}(z_0) \] В нашем случае \( n+1 = 2 \Rightarrow n = 1 \). \[ g(z) = \frac{1}{\pi(z+2)} \] Находим производную: \[ g'(z) = \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{1}{(z+2)^2} \right) = -\frac{1}{\pi(z+2)^2} \] Вычисляем в точке \( z_2 = 1 + 2i \): \[ g'(1+2i) = -\frac{1}{\pi(1+2i+2)^2} = -\frac{1}{\pi(3+2i)^2} = -\frac{1}{\pi(9 + 12i - 4)} = -\frac{1}{\pi(5+12i)} \] 5) Значение интеграла: \[ I = 2\pi i \cdot g'(1+2i) = 2\pi i \cdot \left( -\frac{1}{\pi(5+12i)} \right) = -\frac{2i}{5+12i} \] Домножим на сопряженное: \[ I = -\frac{2i(5-12i)}{25+144} = -\frac{10i - 24i^2}{169} = -\frac{24 + 10i}{169} = -\frac{24}{169} - i \frac{10}{169} \] Ответ: \( -24/169 - i*10/169 \) Задача 2. Вычислить интеграл \[ \oint_{|z|=4.5} \frac{dz}{z(z-4)(z-8i)} = \pi \cdot (\dots) \] 1) Контур: окружность с центром в \( 0 \) и радиусом \( 4,5 \). 2) Особые точки: \( z_1 = 0 \) (внутри, так как \( 0 < 4,5 \)) \( z_2 = 4 \) (внутри, так как \( 4 < 4,5 \)) \( z_3 = 8i \) (вне, так как \( 8 > 4,5 \)) 3) По теореме о вычетах интеграл равен \( 2\pi i \cdot \sum \text{Res} \). Вычет в \( z_1 = 0 \): \[ \text{Res}(f, 0) = \frac{1}{(0-4)(0-8i)} = \frac{1}{32i} = -\frac{i}{32} \] Вычет в \( z_2 = 4 \): \[ \text{Res}(f, 4) = \frac{1}{4(4-8i)} = \frac{1}{16-32i} = \frac{16+32i}{16^2+32^2} = \frac{16+32i}{256+1024} = \frac{16+32i}{1280} = \frac{1}{80} + i\frac{1}{40} \] 4) Сумма вычетов: \[ \sum \text{Res} = -\frac{i}{32} + \frac{1}{80} + \frac{i}{40} = \frac{1}{80} + i\left( \frac{1}{40} - \frac{1}{32} \right) = \frac{1}{80} + i\left( \frac{4-5}{160} \right) = \frac{1}{80} - i\frac{1}{160} \] 5) Значение интеграла: \[ I = 2\pi i \left( \frac{1}{80} - i\frac{1}{160} \right) = \pi \left( \frac{2i}{80} - \frac{2i^2}{160} \right) = \pi \left( \frac{i}{40} + \frac{1}{80} \right) = \pi \left( \frac{1}{80} + i*\frac{1}{40} \right) \] Ответ: \( 1/80 + i*1/40 \)