Разложение функции ln(z+5) в ряд Тейлора в окрестности точки z=3

Для решения первой задачи разложим функцию \( f(z) = \ln(z + 5) \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( z = 3 \). Сделаем замену переменной, чтобы свести задачу к разложению в окрестности нуля. Пусть \( t = z - 3 \), тогда \( z = t + 3 \). Подставим это в функцию: \[ f(z) = \ln(t + 3 + 5) = \ln(t + 8) \] Вынесем 8 за скобки внутри логарифма, чтобы воспользоваться стандартным разложением \( \ln(1 + x) \): \[ \ln(8 + t) = \ln\left(8 \left(1 + \frac{t}{8}\right)\right) = \ln(8) + \ln\left(1 + \frac{t}{8}\right) \] Стандартное разложение логарифма имеет вид: \[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \] В нашем случае \( x = \frac{t}{8} = \frac{z - 3}{8} \). Подставим: \[ f(z) = \ln(8) + \frac{z - 3}{8} - \frac{(z - 3)^2}{2 \cdot 8^2} + \frac{(z - 3)^3}{3 \cdot 8^3} - \frac{(z - 3)^4}{4 \cdot 8^4} + \dots \] Вычислим коэффициенты \( a_n \): \( a_1 = \frac{1}{8} \) \( a_2 = -\frac{1}{2 \cdot 64} = -\frac{1}{128} \) \( a_3 = \frac{1}{3 \cdot 512} = \frac{1}{1536} \) \( a_4 = -\frac{1}{4 \cdot 4096} = -\frac{1}{16384} \) Ответы для ввода: \( a_1 = 1/8 \) \( a_2 = -1/128 \) \( a_3 = 1/1536 \) \( a_4 = -1/16384 \) --- Для второй задачи найдем область сходимости ряда \( f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 4^n}{z^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{5^{n+1}} \). Данный ряд является рядом Лорана. Он сходится в кольце, где сходятся обе его части. 1. Рассмотрим первую часть (ряд по отрицательным степеням): \( \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left(\frac{4}{z}\right)^n \). Этот ряд сходится, когда модуль его знаменателя больше радиуса сходимости соответствующего степенного ряда. По признаку Коши или Даламбера для переменной \( \frac{1}{z} \): \[ \left| \frac{4}{z} \right| < 1 \Rightarrow |z| > 4 \] 2. Рассмотрим вторую часть (ряд по положительным степеням): \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{5}\right)^n \). Это геометрическая прогрессия, которая сходится при: \[ \left| \frac{z}{5} \right| < 1 \Rightarrow |z| < 5 \] Область сходимости — это пересечение условий \( |z| > 4 \) и \( |z| < 5 \). Следовательно, область сходимости: \[ 4 < |z| < 5 \] Ответы для ввода в пустые ячейки: В левую ячейку: 4 В правую ячейку: 5