Разложение функции в ряд Лорана: решение задачи

Для решения задачи №3 разложим функцию \( f(z) \) в ряд Лорана по степеням \( (z-1) \) в кольце \( 2 < |z-1| < 3 \). 1. Сначала разложим функцию на элементарные дроби: \[ f(z) = \frac{5}{(z+1)(z-4)} = \frac{A}{z+1} + \frac{B}{z-4} \] Методом неопределенных коэффициентов находим: \( 5 = A(z-4) + B(z+1) \) При \( z = 4 \): \( 5 = 5B \Rightarrow B = 1 \) При \( z = -1 \): \( 5 = -5A \Rightarrow A = -1 \) Получаем: \[ f(z) = \frac{1}{z-4} - \frac{1}{z+1} \] 2. Введем замену \( u = z-1 \). Тогда \( z = u+1 \). Подставим в дроби: \[ f(z) = \frac{1}{(u+1)-4} - \frac{1}{(u+1)+1} = \frac{1}{u-3} - \frac{1}{u+2} \] 3. Разложим каждую дробь в ряд в области \( 2 < |u| < 3 \): Для первой дроби \( \frac{1}{u-3} \): так как \( |u| < 3 \), выносим \( -3 \): \[ \frac{1}{u-3} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{u}{3}} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{u}{3}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{3^{n+1}} \] Для второй дроби \( \frac{1}{u+2} \): так как \( |u| > 2 \), выносим \( u \): \[ \frac{1}{u+2} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{u}} = \frac{1}{u} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{2}{u}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{u^{n+1}} \] 4. Собираем результат \( f(z) = \frac{1}{u-3} - \frac{1}{u+2} \): \[ f(z) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{3^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{(z-1)^{n+1}} \] Заметим, что \( -(-1)^n = (-1)^{n+1} \). Тогда: \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^n}{(z-1)^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{3^{n+1}} \] Это соответствует четвертому варианту ответа. Ответ на вопрос 3: Четвертый вариант. --- Для вопроса №4 определим тип особой точки \( z_0 = 1 \). Существенно особая точка — это точка, в которой предел функции не существует (ни конечный, ни бесконечный), а в разложении в ряд Лорана содержится бесконечное число членов с отрицательными степенями. 1. \( f(z) = \frac{\sin^2(z-1)}{e^{z-1}-1} \). При \( z \to 1 \) имеем неопределенность \( 0/0 \). По эквивалентностям: \( \frac{(z-1)^2}{z-1} = z-1 \to 0 \). Это устранимая особая точка. 2. \( f(z) = e^{\frac{1}{z-1}} - 1 \). Функция вида \( e^{1/w} \) в точке \( w=0 \) всегда имеет существенно особую точку, так как разложение экспоненты содержит бесконечно много отрицательных степеней: \( \sum \frac{1}{n!(z-1)^n} \). Подходит. 3. \( f(z) = \frac{1}{e^{\frac{1}{z-1}} - 1} \). Здесь в точке \( z=1 \) показатель экспоненты стремится к бесконечности, поведение функции не определено (зависит от пути приближения). Это существенно особая точка. Подходит. 4. \( f(z) = \frac{\sin(z-1)}{e^{z-1}-1} \). По эквивалентностям: \( \frac{z-1}{z-1} \to 1 \). Это устранимая особая точка. Ответ на вопрос 4: Второй и третий варианты.