Нахождение вычета функции в точке z=4 (ТФКП)

Решим задачи по теории функций комплексного переменного (ТФКП) последовательно. Вопрос 5. Найти вычет функции в точке \( z = 4 \). \[ \text{res}_{z=4} \frac{z^2}{(z-6)(z-4)^2} \] Точка \( z = 4 \) является полюсом второго порядка. Вычет для полюса \( n \)-го порядка вычисляется по формуле: \[ \text{res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z-z_0)^n f(z)] \] Для нашего случая \( n = 2 \): \[ \text{res}_{z=4} f(z) = \lim_{z \to 4} \frac{d}{dz} \left[ (z-4)^2 \frac{z^2}{(z-6)(z-4)^2} \right] = \lim_{z \to 4} \frac{d}{dz} \left( \frac{z^2}{z-6} \right) \] Найдем производную: \[ \left( \frac{z^2}{z-6} \right)' = \frac{2z(z-6) - z^2 \cdot 1}{(z-6)^2} = \frac{2z^2 - 12z - z^2}{(z-6)^2} = \frac{z^2 - 12z}{(z-6)^2} \] Подставим \( z = 4 \): \[ \frac{4^2 - 12 \cdot 4}{(4-6)^2} = \frac{16 - 48}{(-2)^2} = \frac{-32}{4} = -8 \] Ответ: -8 --- Вопрос 6. Найти вычет функции в бесконечности. \[ \text{res}_{z=\infty} z^8 \cdot \sin \frac{3}{z^3} \] Вычет в бесконечности равен коэффициенту \( -c_{-1} \) в разложении функции в ряд Лорана. Разложим синус: \[ \sin \frac{3}{z^3} = \frac{3}{z^3} - \frac{(3/z^3)^3}{3!} + \frac{(3/z^3)^5}{5!} - \dots = \frac{3}{z^3} - \frac{27}{6z^9} + \frac{243}{120z^{15}} - \dots \] Умножим на \( z^8 \): \[ f(z) = z^8 \left( \frac{3}{z^3} - \frac{27}{6z^9} + \dots \right) = 3z^5 - \frac{27}{6z^1} + \frac{243}{120z^7} - \dots \] Коэффициент \( c_{-1} \) — это коэффициент при \( \frac{1}{z} \). В нашем разложении это \( -\frac{27}{6} \). Сократим дробь: \( -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} \). Вычет в бесконечности: \( \text{res}_{z=\infty} f(z) = -c_{-1} = -(-9/2) = 9/2 \). Ответ: 9/2 --- Вопрос 7. Вычислить интеграл. \[ \oint_{|z+3|=1} \frac{(z+5)dz}{z \cdot \arcsin(z+3)} \] Контур — окружность с центром в \( z = -3 \) и радиусом 1. Найдем особые точки внутри контура: 1. \( z = 0 \) — находится вне контура (\( |0+3| = 3 > 1 \)). 2. \( \arcsin(z+3) = 0 \Rightarrow z+3 = 0 \Rightarrow z = -3 \). Эта точка находится внутри контура. Точка \( z = -3 \) является простым полюсом (так как \( \arcsin(w) \) имеет нуль первого порядка в \( w=0 \)). Вычислим вычет в \( z = -3 \): \[ \text{res}_{z=-3} \frac{z+5}{z \cdot \arcsin(z+3)} = \frac{z+5}{(z \cdot \arcsin(z+3))'} \bigg|_{z=-3} \] Производная знаменателя: \( (z \cdot \arcsin(z+3))' = \arcsin(z+3) + \frac{z}{\sqrt{1-(z+3)^2}} \). В точке \( z = -3 \): \[ \arcsin(0) + \frac{-3}{\sqrt{1-0^2}} = 0 - 3 = -3 \] Значение числителя в \( z = -3 \): \( -3 + 5 = 2 \). Вычет: \( \frac{2}{-3} = -2/3 \). По основной теореме о вычетах: \[ I = 2\pi i \cdot \sum \text{res} = 2\pi i \cdot (-2/3) = \pi \cdot (-4i/3) \] В поле ответа уже стоит \( \pi \cdot ( \dots ) \). Ответ: -4i/3