Решение задач по дифференциальным уравнениям

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в тетрадь. Вопрос 1. Установите тип дифференциального уравнения: 1. \( y' + p(x)y = q(x) \) — это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Ответ: линейное. 2. \( 3x^2(1 + \ln y)dx = \left( 2y - \frac{x^3}{y} \right)dy \). Проверим условие равенства смешанных производных для уравнения вида \( M dx + N dy = 0 \). Перенесем всё в одну часть: \( 3x^2(1 + \ln y)dx + \left( \frac{x^3}{y} - 2y \right)dy = 0 \). Производная \( M \) по \( y \): \( \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 3x^2 \ln y) = \frac{3x^2}{y} \). Производная \( N \) по \( x \): \( \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x^3}{y} - 2y) = \frac{3x^2}{y} \). Так как производные равны, это уравнение в полных дифференциалах. Ответ: в полных дифференциалах. 3. \( e^{-y}(1 + y') = 1 \). Выразим \( y' \): \( 1 + y' = e^y \), следовательно \( \frac{dy}{dx} = e^y - 1 \). Это уравнение, где переменные можно разделить: \( \frac{dy}{e^y - 1} = dx \). Ответ: с разделяющимися переменными. 4. \( xy' = \frac{2y^2 - x^2}{y} \). Поделим обе части на \( x \): \( y' = \frac{2y^2 - x^2}{xy} = 2\frac{y}{x} - \frac{x}{y} \). Правая часть зависит только от отношения \( \frac{y}{x} \). Ответ: однородное. Вопрос 2. Укажите общий интеграл уравнения: \[ 4xdx - 3ydy = 3x^2ydy - 2xy^2dx \] Решение: Группируем слагаемые с \( dx \) и \( dy \): \[ (4x + 2xy^2)dx = (3y + 3x^2y)dy \] Выносим общие множители за скобки: \[ 2x(2 + y^2)dx = 3y(1 + x^2)dy \] Разделяем переменные, деля обе части на \( (1 + x^2)(2 + y^2) \): \[ \frac{2x}{1 + x^2}dx = \frac{3y}{2 + y^2}dy \] Интегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{2x}{1 + x^2}dx = \int \frac{3y}{2 + y^2}dy \] Заметим, что \( 2xdx = d(1 + x^2) \) и \( ydy = \frac{1}{2}d(2 + y^2) \): \[ \ln(1 + x^2) = \frac{3}{2} \ln(2 + y^2) + \ln C_1 \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2\ln(1 + x^2) = 3\ln(2 + y^2) + \ln C \] \[ \ln(1 + x^2)^2 = \ln(2 + y^2)^3 + \ln C \] Используя свойства логарифмов: \[ (1 + x^2)^2 = C(2 + y^2)^3 \] Или в виде, представленном в вариантах ответа: \[ (y^2 + 2)^3 = C(x^2 + 1)^2 \] Ответ: \( (y^2 + 2)^3 = C(x^2 + 1)^2 \) (третий вариант в списке).