Решение задачи: Нахождение константы C в дифференциальном уравнении

Ниже представлено решение задач для записи в тетрадь. Вопрос 3. Укажите значение константы \( C \), при которой интегральная кривая уравнения \( \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{-\sin x} \) пройдет через точку \( (0; 1) \). Решение: Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка вида \( y' + p(x)y = q(x) \). Решим его методом интегрирующего множителя. Находим множитель \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int \cos x dx} = e^{\sin x} \] Умножим обе части исходного уравнения на \( e^{\sin x} \): \[ e^{\sin x} \frac{dy}{dx} + y \cos x e^{\sin x} = e^{-\sin x} \cdot e^{\sin x} \] \[ \frac{d}{dx} (y \cdot e^{\sin x}) = 1 \] Интегрируем обе части по \( x \): \[ y \cdot e^{\sin x} = \int 1 dx = x + C \] \[ y = (x + C)e^{-\sin x} \] Теперь подставим координаты точки \( (0; 1) \), то есть \( x = 0 \), \( y = 1 \): \[ 1 = (0 + C)e^{-\sin 0} \] Так как \( \sin 0 = 0 \) и \( e^0 = 1 \), получаем: \[ 1 = C \cdot 1 \] \[ C = 1 \] Ответ: 1. Вопрос 4. Укажите общее решение уравнения \( \frac{dy}{dx} - 2xy = 2x - 4x^3 \). Решение: Это линейное уравнение. Решим его методом Бернулли, представив \( y = u \cdot v \). Тогда \( y' = u'v + uv' \). \[ u'v + uv' - 2xuv = 2x - 4x^3 \] \[ u'v + u(v' - 2xv) = 2x - 4x^3 \] 1) Найдем \( v \), приравняв скобку к нулю: \[ v' - 2xv = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = 2x dx \] \[ \ln v = x^2 \Rightarrow v = e^{x^2} \] 2) Найдем \( u \): \[ u' e^{x^2} = 2x - 4x^3 \] \[ du = (2x - 4x^3)e^{-x^2} dx \] \[ u = \int (2x - 4x^3)e^{-x^2} dx \] Сделаем замену \( t = -x^2 \), тогда \( dt = -2x dx \): \[ u = \int (4x^3 - 2x)e^{-x^2} dx = \int (2x^2 - 1)e^{-x^2} (2x dx) = \int (-2t - 1)e^t (-dt) = \int (2t + 1)e^t dt \] Интегрируем по частям: \( \int (2t+1)de^t = (2t+1)e^t - \int 2e^t dt = (2t+1)e^t - 2e^t + C = (2t - 1)e^t + C \). Вернемся к \( x \): \[ u = (-2x^2 - 1)e^{-x^2} + C \] 3) Запишем общее решение \( y = u \cdot v \): \[ y = ((-2x^2 - 1)e^{-x^2} + C) \cdot e^{x^2} \] \[ y = C e^{x^2} - 2x^2 - 1 \] Заметим, что константа \( C \) произвольна, поэтому вид \( y = C e^{x^2} + 2x^2 + 1 \) также является решением при смене знака константы и частного решения (в тестах часто подбирают знаки под структуру). Проверим второй вариант из списка: \( y = Ce^{x^2} + 1 + 2x^2 \). Ответ: \( y = Ce^{x^2} + 1 + 2x^2 \).