Решение задачи по дифференциальным уравнениям

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в тетрадь. Вопрос 1. Выберите подходящую подстановку для понижения порядка дифференциального уравнения \( x^3 y'' - x^4 = 1 \). Решение: В данном уравнении отсутствует искомая функция \( y \). Уравнение имеет вид \( F(x, y'') = 0 \) (или \( F(x, y', y'') = 0 \)). В таких случаях для понижения порядка используется замена первой производной на новую функцию от \( x \). Пусть \( y' = p(x) \), тогда \( y'' = p' \). Ответ: \( y' = p(x) \) и \( y'' = p' \). Вопрос 2. Запишите общее решение для уравнения \( z'' + 10z' + 26z = 0 \). Решение: Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 10k + 26 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4 \] Корни уравнения комплексные: \[ k = \frac{-10 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-10 \pm 2i}{2} = -5 \pm i \] Здесь вещественная часть \( \alpha = -5 \), мнимая часть \( \beta = 1 \). Общее решение линейного однородного уравнения с комплексными корнями имеет вид: \[ z = C_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + C_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x) \] Подставляем наши значения: \[ z = C_1 e^{-5x} \cos(1x) + C_2 e^{-5x} \sin(1x) \] Заполняем пустые поля: -5, 1, -5, 1. Вопрос 3. Укажите решение задачи Коши уравнения \( 4y'' \sqrt{y} = 1 \), \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = -1 \). Решение: Уравнение не содержит \( x \). Используем подстановку \( y' = p(y) \), тогда \( y'' = p \frac{dp}{dy} \). \[ 4 p \frac{dp}{dy} \sqrt{y} = 1 \Rightarrow 4p dp = \frac{dy}{\sqrt{y}} \] Интегрируем: \[ 2p^2 = 2\sqrt{y} + C_1 \] Подставим начальные условия \( y = 1, p = y' = -1 \): \[ 2(-1)^2 = 2\sqrt{1} + C_1 \Rightarrow 2 = 2 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0 \] Получаем: \[ 2p^2 = 2\sqrt{y} \Rightarrow p^2 = \sqrt{y} \Rightarrow p = \pm y^{1/4} \] Так как \( y'(0) = -1 \), выбираем отрицательный корень: \[ \frac{dy}{dx} = -y^{1/4} \Rightarrow \frac{dy}{y^{1/4}} = -dx \] Интегрируем: \[ \int y^{-1/4} dy = \int -dx \Rightarrow \frac{4}{3} y^{3/4} = -x + C_2 \] Подставим \( y(0) = 1 \): \[ \frac{4}{3} (1)^{3/4} = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{4}{3} \] Итоговое уравнение: \[ \frac{4}{3} y^{3/4} = \frac{4}{3} - x \] Умножим на \( \frac{3}{4} \): \[ y^{3/4} = 1 - \frac{3}{4}x \] Возведем в степень \( \frac{4}{3} \): \[ y = \left( 1 - \frac{3}{4}x \right)^{4/3} \] Ответ: \( y = \left( 1 - \frac{3}{4}x \right)^{4/3} \) (второй вариант в списке).