Решение: Соответствие Общего Решения и Дифференциального Уравнения

Ниже представлено решение задачи на установление соответствия между общим решением и однородным дифференциальным уравнением. Для решения необходимо составить характеристическое уравнение для каждого дифференциального уравнения вида \( ay'' + by' + cy = 0 \), которое записывается как \( ak^2 + bk + c = 0 \). 1. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) Это решение соответствует случаю кратных корней характеристического уравнения: \( k_1 = k_2 = -1 \). Уравнение: \( (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 = 0 \). Дифференциальное уравнение: \( y'' + 2y' + y = 0 \). Ответ: \( y'' + 2y' + y = 0 \). 2. \( y = C_1 + C_2 e^{-x} \) Здесь корни характеристического уравнения: \( k_1 = 0 \) (так как \( e^{0 \cdot x} = 1 \)) и \( k_2 = -1 \). Уравнение: \( k(k + 1) = k^2 + k = 0 \). Дифференциальное уравнение: \( y'' + y' = 0 \). Ответ: \( y'' + y' = 0 \). 3. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \) Здесь корни характеристического уравнения: \( k_1 = -1 \) и \( k_2 = 1 \). Уравнение: \( (k + 1)(k - 1) = k^2 - 1 = 0 \). Дифференциальное уравнение: \( y'' - y = 0 \). Ответ: \( y'' - y = 0 \). 4. \( y = C_1 + C_2 e^x \) Здесь корни характеристического уравнения: \( k_1 = 0 \) и \( k_2 = 1 \). Уравнение: \( k(k - 1) = k^2 - k = 0 \). Дифференциальное уравнение: \( y'' - y' = 0 \). Ответ: \( y'' - y' = 0 \). Итоговое соответствие для записи: \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \longrightarrow y'' + 2y' + y = 0 \) \( y = C_1 + C_2 e^{-x} \longrightarrow y'' + y' = 0 \) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \longrightarrow y'' - y = 0 \) \( y = C_1 + C_2 e^x \longrightarrow y'' - y' = 0 \)