Решение задач на вид частного решения дифференциального уравнения

Ниже представлено решение задач на определение вида частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Для уравнения \( y'' + 4y = f(x) \) сначала найдем корни характеристического уравнения: \[ k^2 + 4 = 0 \Rightarrow k^2 = -4 \Rightarrow k_{1,2} = \pm 2i \] Это означает, что собственными частотами системы являются \( \cos 2x \) и \( \sin 2x \). Если правая часть \( f(x) \) содержит эти функции, возникает резонанс (появляется дополнительный множитель \( x \)). Задание 1. Установите соответствие между \( f(x) \) и видом частного решения \( y^* \): 1. \( f(x) = xe^{2x} \) Число \( \alpha = 2 \) не является корнем характеристического уравнения (\( 2 \neq \pm 2i \)). Частное решение ищется в виде многочлена первой степени, умноженного на экспоненту. Ответ: \( y^* = (Ax + B)e^{2x} \) 2. \( f(x) = \cos x \) Число \( i \) (\( \beta = 1 \)) не является корнем характеристического уравнения (\( 1 \neq 2 \)). Резонанса нет. Ответ: \( y^* = A \cos x + B \sin x \) 3. \( f(x) = \sin 2x \) Число \( 2i \) (\( \beta = 2 \)) совпадает с корнем характеристического уравнения. Наблюдается резонанс, поэтому добавляется множитель \( x \). Ответ: \( y^* = Ax \cos 2x + Bx \sin 2x \) 4. \( f(x) = x \sin x \) Число \( i \) (\( \beta = 1 \)) не является корнем. Частное решение ищется как комбинация синуса и косинуса с многочленами первой степени. Ответ: \( y^* = (Ax + B)\cos x + (Cx + D)\sin x \) Задание 2. Укажите уравнения, частное решение которых имеет вид \( y^* = Ax \cos 2x + Bx \sin 2x \). Этот вид решения (с множителем \( x \)) указывает на наличие резонанса. Это происходит, когда правая часть содержит \( \sin 2x \) или \( \cos 2x \), и при этом числа \( \pm 2i \) являются корнями характеристического уравнения. 1. \( y'' - 4y = \sin 2x \). Корни: \( k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k = \pm 2 \). Резонанса нет. 2. \( y''' + 4y' = \cos 2x - \sin 2x \). Корни: \( k^3 + 4k = 0 \Rightarrow k(k^2 + 4) = 0 \Rightarrow k = 0, k = \pm 2i \). Есть корни \( \pm 2i \), резонанс есть. Подходит. 3. \( y'' + 4y = \cos 2x \). Корни: \( k = \pm 2i \). Резонанс есть. Подходит. 4. \( y'' + 4y = \sin 2x \). Корни: \( k = \pm 2i \). Резонанс есть. Подходит. 5. \( y'' + 4y' = \sin 2x \). Корни: \( k^2 + 4k = 0 \Rightarrow k = 0, k = -4 \). Резонанса нет. Ответ: \( y''' + 4y' = \cos 2x - \sin 2x \) \( y'' + 4y = \cos 2x \) \( y'' + 4y = \sin 2x \)