Решение уравнения y'' + 25y = -40cos5x

Ниже представлено решение задачи для записи в тетрадь. Найдите частное решение неоднородного уравнения \( y'' + 25y = -40 \cos 5x \). Решение: 1. Составим характеристическое уравнение для однородного уравнения: \[ k^2 + 25 = 0 \Rightarrow k^2 = -25 \Rightarrow k_{1,2} = \pm 5i \] 2. Определим вид частного решения \( y^* \). Правая часть имеет вид \( f(x) = -40 \cos 5x \). Так как число \( 5i \) совпадает с корнем характеристического уравнения, имеет место резонанс. Частное решение ищем в виде: \[ y^* = x(A \cos 5x + B \sin 5x) \] 3. Найдем производные \( y^* \): \[ (y^*)' = A \cos 5x + B \sin 5x + x(-5A \sin 5x + 5B \cos 5x) \] \[ (y^*)'' = -5A \sin 5x + 5B \cos 5x - 5A \sin 5x + 5B \cos 5x + x(-25A \cos 5x - 25B \sin 5x) \] \[ (y^*)'' = -10A \sin 5x + 10B \cos 5x - 25x(A \cos 5x + B \sin 5x) \] 4. Подставим \( y^* \) и \( (y^*)'' \) в исходное уравнение \( y'' + 25y = -40 \cos 5x \): \[ -10A \sin 5x + 10B \cos 5x - 25y^* + 25y^* = -40 \cos 5x \] \[ -10A \sin 5x + 10B \cos 5x = -40 \cos 5x \] 5. Приравняем коэффициенты при \( \sin 5x \) и \( \cos 5x \): При \( \sin 5x \): \( -10A = 0 \Rightarrow A = 0 \) При \( \cos 5x \): \( 10B = -40 \Rightarrow B = -4 \) 6. Запишем частное решение: \[ y^* = x(0 \cdot \cos 5x - 4 \cdot \sin 5x) = -4x \sin 5x \] Для заполнения полей в тесте (с учетом структуры \( y^* = \dots x \cdot \sin \dots x + \dots x \cdot \cos \dots x \)): Первое поле: -4 Второе поле: 5 Третье поле: 0 Четвертое поле: 5 Ответ: \( y^* = -4 \cdot x \cdot \sin 5x + 0 \cdot x \cdot \cos 5x \)