Решение задач по операционному исчислению

Ниже представлены решения задач по операционному исчислению, оформленные для записи в тетрадь. Вопрос 1. Укажите показатель роста функции \( f(t) = 7e^{11t} \sin 12t \). Решение: Показателем роста функции \( f(t) \) называется такое минимальное число \( s_0 \), для которого выполняется условие \( |f(t)| \le M e^{s_0 t} \). Для функции вида \( e^{at} \sin bt \) или \( e^{at} \cos bt \) показатель роста равен коэффициенту в экспоненте, то есть \( s_0 = a \). В данном случае \( a = 11 \). Ответ: \( s_0 = 11 \) Вопрос 2. Найти изображение функции \( f(t) = 5 \sin^2(4t) \). Решение: 1. Используем формулу понижения степени: \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \). \[ f(t) = 5 \cdot \frac{1 - \cos(8t)}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cos(8t) \] 2. Используем таблицу изображений Лапласа: \( 1 \fallingdotseq \frac{1}{p} \) \( \cos(at) \fallingdotseq \frac{p}{p^2 + a^2} \) 3. Получаем: \[ F(p) = \frac{5}{2p} - \frac{5}{2} \cdot \frac{p}{p^2 + 8^2} = \frac{5}{2p} - \frac{5p}{2(p^2 + 64)} \] Ответ: \( F(p) = \frac{5}{2p} - \frac{5p}{2(p^2 + 64)} \) Вопрос 3. Найти изображение функции \( f(t) = 3 \cdot t^3 + \frac{2}{4} e^{-2t} \). Решение: 1. Упростим коэффициент: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 2. Используем таблицу изображений: \( t^n \fallingdotseq \frac{n!}{p^{n+1}} \), значит \( t^3 \fallingdotseq \frac{3!}{p^4} = \frac{6}{p^4} \). \( e^{at} \fallingdotseq \frac{1}{p - a} \), значит \( e^{-2t} \fallingdotseq \frac{1}{p + 2} \). 3. Собираем изображение: \[ F(p) = 3 \cdot \frac{6}{p^4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p + 2} = \frac{18}{p^4} + \frac{1}{2(p + 2)} \] Ответ: \( F(p) = \frac{18}{p^4} + \frac{1}{2(p + 2)} \) Вопрос 4. Найти изображение функции \( f(t) = \int_{0}^{t} t^4 e^{-3t} dt \). Решение: 1. Сначала найдем изображение подынтегральной функции \( g(t) = t^4 e^{-3t} \). Используем теорему смещения: если \( t^4 \fallingdotseq \frac{4!}{p^5} = \frac{24}{p^5} \), то при умножении на \( e^{-3t} \) аргумент \( p \) заменяется на \( (p + 3) \). \[ G(p) = \frac{24}{(p + 3)^5} \] 2. Используем свойство интегрирования оригинала: если \( g(t) \fallingdotseq G(p) \), то \( \int_{0}^{t} g(\tau) d\tau \fallingdotseq \frac{G(p)}{p} \). \[ F(p) = \frac{24}{p(p + 3)^5} \] Ответ: \( F(p) = \frac{24}{p(p + 3)^5} \)