Решение задачи с функцией Хевисайда

Ниже представлено решение задачи для записи в тетрадь. Задание: Записать аналитическое выражение функции \( f(t) \) через функцию Хевисайда \( \eta \) и найти её изображение \( F(p) \). \[ f(t) = \begin{cases} 0, & t < 3 \\ 4t + 2, & 3 \le t \le 6 \\ 0, & t > 6 \end{cases} \] Решение: 1. Запишем функцию через единичные ступенчатые функции (функции Хевисайда). На интервале \( [3, 6] \) функция принимает значение \( 4t + 2 \), в остальное время — \( 0 \). \[ f(t) = (4t + 2) \cdot (\eta(t - 3) - \eta(t - 6)) \] 2. Для нахождения изображения по теореме запаздывания необходимо представить коэффициенты при функциях Хевисайда в виде функций от соответствующих разностей \( (t - 3) \) и \( (t - 6) \). Преобразуем выражение \( 4t + 2 \): Для \( \eta(t - 3) \): \[ 4t + 2 = 4(t - 3 + 3) + 2 = 4(t - 3) + 12 + 2 = 4(t - 3) + 14 \] Для \( \eta(t - 6) \): \[ 4t + 2 = 4(t - 6 + 6) + 2 = 4(t - 6) + 24 + 2 = 4(t - 6) + 26 \] 3. Подставим преобразованные выражения в формулу функции: \[ f(t) = (4(t - 3) + 14)\eta(t - 3) - (4(t - 6) + 26)\eta(t - 6) \] 4. Найдем изображение \( F(p) \), используя свойства линейности и теорему запаздывания \( f(t - a)\eta(t - a) \fallingdotseq e^{-ap}F(p) \): Так как \( t \fallingdotseq \frac{1}{p^2} \) и \( 1 \fallingdotseq \frac{1}{p} \), получаем: \[ F(p) = e^{-3p} \left( \frac{4}{p^2} + \frac{14}{p} \right) - e^{-6p} \left( \frac{4}{p^2} + \frac{26}{p} \right) \] Ответы для ввода в поля: \( f(t) = (4(t-3)+14)\eta(t-3)-(4(t-6)+26)\eta(t-6) \) \( F(p) = e^{-3p}(\frac{4}{p^2}+\frac{14}{p})-e^{-6p}(\frac{4}{p^2}+\frac{26}{p}) \)