Решение задачи Коши операционным методом (Лапласа)

Для решения задачи Коши операционным методом (с помощью преобразования Лапласа) воспользуемся стандартными формулами перехода от оригиналов к изображениям. Пусть \( x(t) \fallingdotseq X(p) \). Тогда по теореме о дифференцировании оригинала: 1. Изображение первой производной: \[ x'(t) \fallingdotseq p X(p) - x(0) \] Подставим начальное условие \( x(0) = 12 \): \[ x'(t) \fallingdotseq p \cdot X(p) - 12 \] В поля ввода для \( x'(t) \) записываем: \( p \) и \( -12 \). 2. Изображение второй производной: \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 X(p) - p x(0) - x'(0) \] Подставим начальные условия \( x(0) = 12 \) и \( x'(0) = 10 \): \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 \cdot X(p) - (12p + 10) \] В поля ввода для \( x''(t) \) записываем: \( p^2 \) и \( -12p - 10 \). 3. Изображение правой части уравнения: По таблице изображений для экспоненты \( e^{at} \fallingdotseq \frac{1}{p-a} \). В нашем случае \( a = 5 \): \[ e^{5t} \fallingdotseq \frac{1}{p-5} \] 4. Составим операторное уравнение: Подставим полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение \( x'' + 9x' = e^{5t} \): \[ (p^2 X(p) - 12p - 10) + 9(p X(p) - 12) = \frac{1}{p-5} \] Сгруппируем слагаемые с \( X(p) \): \[ (p^2 + 9p) X(p) - 12p - 10 - 108 = \frac{1}{p-5} \] \[ (p^2 + 9p) X(p) - 12p - 118 = \frac{1}{p-5} \] Перенесем свободные члены в правую часть: \[ (p^2 + 9p) X(p) = \frac{1}{p-5} + 12p + 118 \] Ответы для заполнения полей: Изображения для левой части: \( x''(t) \fallingdotseq p^2 \cdot X(p) + (-12p - 10) \) \( x'(t) \fallingdotseq p \cdot X(p) + (-12) \) Изображение для правой части: \( e^{5t} \fallingdotseq \frac{1}{p-5} \) Операторное уравнение: \( (p^2 + 9p) \cdot X(p) = \frac{1}{p-5} + 12p + 118 \)